アジア物理オリンピック · 2024年

問題

問題 1質量が等しい2つの小球(質量 $m$ )が、同じ点から長さ $l$ の糸で吊るされ、初めは接している。各小球に等しい電荷 $q$ を与えると、互いに反発し、鉛直方向から小さな角 $\theta$ の位置でつり合う。 $q$ を $m$ 、 $l$ 、 $\theta$ で表せ。ここで $g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 、 $k=1/(4\pi\epsilon_0)$ はクーロン定数である。球の大きさは中心間距離に比べて無視し、斥力は水平、2本の糸は鉛直から角度 $\theta$ だけ対称に傾く。(a) 力のつり合いから電気力を $m,g,\theta$ で表せ。(b) 中心間距離を $l,\theta$ で表し、与えられた量による正確な電荷を求めよ。(c) $\\theta\ll1$ rad で小角近似式を導き、次元を確認せよ。角度は十分小さいが、厳密式では近似を用いず、中心間距離を使う。電荷は両球で同じ符号・同じ大きさである。数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。解答: 1
問題 21 molの単原子理想気体が初期状態 $(P_0,V_0,T_0)$ にある。定圧で体積が $2V_0$ になるまで加熱し、次に定積で温度 $T_0$ まで冷却する。全過程で気体がする仕事、気体が受け取る熱量、および内部エネルギーの変化を求めよ。気体に入る熱を正とする。気体を閉じた系とし、各状態で状態方程式を用い、指定された符号規約で仕事と熱を区別する。(a) 前半過程の温度と体積の関係を示し、接続点の圧力・体積を記せ。(b) 各過程の仕事と全体の内部エネルギー変化を求めよ。(c) 第一法則から正味の熱を求め、冷却過程の熱と符号が異なり得る理由を説明せよ。全過程の仕事は気体が外部へする仕事を正とし、熱は気体が受け取る向きを正とする。状態方程式は各平衡状態に適用できる。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。解答: 1
問題 3焦点距離 $f>0$ の薄い凸レンズがある。主軸に垂直な平面物体をレンズから $3f$ の位置に置く。薄レンズ近似を用い、実像の像距離を正とする規約で、符号付き像距離 $v$ 、横倍率 $m$ 、および像の性質を求めよ。符号付き距離の規約を用い、物体は近軸近似が成り立つほど小さいとする。(a) 共役公式から像の位置を求めよ。(b) 物体高を $H$ として倍率と像高を求めよ。(c) 実像・虚像および正立・倒立を判定し、次元の整合性を確認せよ。物体距離 $u$ はレンズから物体までの正の距離であり、物体高 $H$ は上向きを正とする。像高の符号で向きを表す。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。解答: 1