Physic Labs

問題 1

質量が等しい2つの小球(質量 mm)が、同じ点から長さ ll の糸で吊るされ、初めは接している。各小球に等しい電荷 qq を与えると、互いに反発し、鉛直方向から小さな角 θ\theta の位置でつり合う。qq を mm、ll、θ\theta で表せ。 ここで g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}、k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0) はクーロン定数である。球の大きさは中心間距離に比べて無視し、斥力は水平、2本の糸は鉛直から角度 θ\theta だけ対称に傾く。(a) 力のつり合いから電気力を m,g,θm,g,\theta で表せ。(b) 中心間距離を l,θl,\theta で表し、与えられた量による正確な電荷を求めよ。(c) theta≪1\\theta\ll1 rad で小角近似式を導き、次元を確認せよ。 角度は十分小さいが、厳密式では近似を用いず、中心間距離を使う。電荷は両球で同じ符号・同じ大きさである。 数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
kq2r2=mgtan⁡θ≈mgθ ⇒ q≈4mgl2θ3kk\frac{q^2}{r^2} = mg\tan\theta \approx mg\theta \ \Rightarrow\ q \approx \sqrt{\frac{4mgl^2\theta^3}{k}}
problems.proof.analysis

FC=kq2/r2F_C = kq^2/r^2 と r≈2lθr\approx 2l\theta を FC=mgtan⁡θ≈mgθF_C = mg\tan\theta \approx mg\theta(小角)に代入して qq を求めると、q∝θ3/2q \propto \theta^{3/2} となる。これは自明でない関係であり、電荷を変えて θ\theta を測定すれば実験的に検証できる。

problems.proof.pitfall. sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta はラジアンで用い、中心間距離を 2lsin⁡θ2l\sin\theta とする。