問題 2

初期電荷を持たないコンデンサー

C=100\ \mu\mathrm F

を、

t=0

で抵抗

R=10\ \mathrm{k\Omega}

および起電力

E=12

V の理想電源と直列に接続する。コンデンサーの電荷を

q(t)

、電流を

i(t)=\dot q(t)

とする。(a) 時定数

\tau

と長時間後の電荷

q_\infty

を求めよ。(b)

q(t)

と

i(t)

の式を書け。(c) 電荷が最終値の

90\%

に達する時刻とその瞬間の電流を求めよ。

problems.proof.stepOf

1-e^{-t_{90}}=0.90\Rightarrow t_{90}=\tau\ln10=2.30\ \mathrm s

problems.proof.analysis

比 $q/q_\infty=0.90$ を置き、指数項について解くと $e^{-t/\tau}=0.10$ 。自然対数を取ると時刻が得られ、 $\tau=1$ s では $\ln 10$ となる。

problems.proof.pitfall. 90%に達する時刻は

0.9\tau

ではない。指数関数的な近づきは遅くなるため、時定数1つよりも長い

\tau\ln 10

が必要である。