問題 2

初期電荷を持たないコンデンサー

C=100\ \mu\mathrm F

を、

t=0

で抵抗

R=10\ \mathrm{k\Omega}

および起電力

E=12

V の理想電源と直列に接続する。コンデンサーの電荷を

q(t)

、電流を

i(t)=\dot q(t)

とする。(a) 時定数

\tau

と長時間後の電荷

q_\infty

を求めよ。(b)

q(t)

と

i(t)

の式を書け。(c) 電荷が最終値の

90\%

に達する時刻とその瞬間の電流を求めよ。

problems.proof.stepOf

q(t)=q_\infty(1-e^{-t/\tau})=1.20\times10^{-3}\left(1-e^{-t}\right)\ \mathrm C

problems.proof.analysis

一般解は最終値 $q_\infty$ と任意定数を含む指数項の和である。条件 $q(0)=0$ から定数が決まり、慣用の $1-e^{-t/\tau}$ 形になる。