問題 1

高さ

H

の崖の端から、小物体を水平初速度

v_0

で投射する。投射点を原点、投射方向を

x

軸、上向きを

y

軸とし、空気抵抗を無視して

g=9.8\,\mathrm{m/s^2}

とする。地面は水平で物体を受け止める。(a) 飛行時間と水平距離

R

を求めよ。(b) 衝突直前の速度成分と速さを求めよ。(c) 衝突時の軌道の水平線より下の角度を求めよ。なお、各量は問題文の符号規約に従って表し、単位と物理的に許される範囲を明記する。前の小問で求めた結果は後の小問に用いてよい。解答では各段階の物理法則と符号を明示し、求めた式の単位が対象量に一致することを確かめる。与えられた理想化以外の効果は考慮せず、記号は本文で定義した意味のまま用いる。極限や対称性がある場合は、結果がその条件に合うかも確認する。解答の途中で定義した補助量は、最終的な答えを示す際に元の記号へ戻して整理する。各小問で指定された条件を取り違えず、初期状態と終状態、または原因と結果を区別して記述する。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x}=\frac{\sqrt{2gH}}{v_0},\quad \boxed{\phi=\arctan\frac{\sqrt{2gH}}{v_0}}

problems.proof.analysis

水平線より下の角は下向き成分と水平成分の比で決まる。以上より $t_f=\sqrt{2H/g}$ 、 $R=v_0t_f$ と着地速度が得られる。

problems.proof.pitfall. 着地時に

v_y=0

としてはならない。ゼロなのは初期鉛直速度だけで、上向きを正とすれば終速度成分は負である。