問題 1

質量

m

の小物体を、水平床上の軽い鉛直ばね（ばね定数

k

）の自由端より高さ

h

の位置で静止させる。物体を放し、空気抵抗や損失を無視する。圧縮を正、重力加速度を

g

とし、最大圧縮を

x

とする。(a)

x

を求め、

h=0

の極限を確かめよ。(b) 圧縮量が

y

（

0\le y\le x

）のときの速度を求めよ。(c) 速さが最大となる圧縮量と最大速さを求めよ。なお、各量は問題文の符号規約に従って表し、単位と物理的に許される範囲を明記する。前の小問で求めた結果は後の小問に用いてよい。解答では各段階の物理法則と符号を明示し、求めた式の単位が対象量に一致することを確かめる。与えられた理想化以外の効果は考慮せず、記号は本文で定義した意味のまま用いる。極限や対称性がある場合は、結果がその条件に合うかも確認する。解答の途中で定義した補助量は、最終的な答えを示す際に元の記号へ戻して整理する。各小問で指定された条件を取り違えず、初期状態と終状態、または原因と結果を区別して記述する。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

F_{\rm net}=mg-ky=0\quad\Rightarrow\quad y_* =\frac{mg}{k}

problems.proof.analysis

$v^2(y)$ を微分すると $2g-2ky/m$ となり、これが符号を変える所で速さが最大になる。これは $y_*$ で下向きの合力がゼロとなる条件と同じである。