問題 2

面積

A

、間隔

d

の平行板コンデンサーを一定電圧

V

の電源につなぐ。比誘電率

\kappa

の誘電体が板の長さの割合

x

を平行方向に満たし、残りは真空である。端効果を無視し、容量、正極板の電荷、電場エネルギーを求めよ。 (a) 仮定を明示し、求める量を支配する方程式を立てよ。(b) 与えられた記号で解き、結果の向き・符号または物理的性質を示せ。(c) 単純な極限で結果を確認し、モデルが成立する条件を述べよ。SI単位を一貫して用い、設定中の記号を保ち、幾何学的拘束と初期条件をすべて適用すること。また、未知量が複数ある場合は、独立な関係式の数が未知数の数に足りていることを確かめる。導出した符号は選んだ座標軸に照らして解釈し、条件を満たす実数解だけを採用する。数値条件が与えられた量については、適切な有効数字でSI単位の答えを示し、途中の記号式との整合も確認する。なお、理想化の内容を保ったまま、式の両辺が同じ物理次元を持つことも確かめる。途中で定義した補助量は最後に元の記号へ戻し、求める答えを単位とともに明記する。複数の状態を比べる問いでは、同じ初期条件から得た結果を比較し、保存則や境界条件と矛盾しないことを確認する。数値を代入する場合は、与えられた値だけを使う。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

Q_+=CV=\frac{\varepsilon_0AV}{d}[1+(\kappa-1)x],\quad U=\frac12CV^2

problems.proof.analysis

電源が $V$ を一定に保つため、正極板の電荷は $Q_+=CV$ 。蓄積エネルギーは $CV^2/2$ である。

problems.proof.pitfall. 初期条件や拘束条件を落としてはならない。物理的範囲外の代数解は答えではない。