問題 1

質量

M

、傾斜角

\alpha

のくさびの上を質量

m

の小物体が摩擦なく静止状態から滑る。くさびは滑らかな水平面上にある。くさびの加速度と、くさびに対する物体の加速度を求めよ。重力加速度を

g

とする。 (a) 仮定を明示し、求める量を支配する方程式を立てよ。(b) 与えられた記号で解き、結果の向き・符号または物理的性質を示せ。(c) 単純な極限で結果を確認し、モデルが成立する条件を述べよ。SI単位を一貫して用い、設定中の記号を保ち、幾何学的拘束と初期条件をすべて適用すること。また、未知量が複数ある場合は、独立な関係式の数が未知数の数に足りていることを確かめる。導出した符号は選んだ座標軸に照らして解釈し、条件を満たす実数解だけを採用する。数値条件が与えられた量については、適切な有効数字でSI単位の答えを示し、途中の記号式との整合も確認する。なお、理想化の内容を保ったまま、式の両辺が同じ物理次元を持つことも確かめる。途中で定義した補助量は最後に元の記号へ戻し、求める答えを単位とともに明記する。複数の状態を比べる問いでは、同じ初期条件から得た結果を比較し、保存則や境界条件と矛盾しないことを確認する。数値を代入する場合は、与えられた値だけを使う。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

(M+m)\ddot X-m\ddot s\cos\alpha=0,\quad -\ddot X\cos\alpha+\ddot s=g\sin\alpha

problems.proof.analysis

第1式は水平方向の運動量保存(または $X$ に関するラグランジュ方程式)であり、第2式は $s$ に関する方程式である。