Théorie du chaos et effet papillon

Matériel

• Modèle 3D de trajectoires en espace des phases (vue 1)
• Curseurs d'écart initial δ et de paramètre ρ
• Vue 2 du graphe de séparation en fonction du temps

Protocole

1. Deux trajectoires proches

   Réglez ρ = 28 (régime chaotique classique) et δ petit (~0,1). Voyez les deux trajectoires coller un moment puis diverger soudain vers des «ailes» différentes de l'attracteur — signature de la sensibilité aux conditions initiales.

2. Mesurer la divergence selon δ

   Faites varier δ (petit, moyen, grand) et notez quand les trajectoires se distinguent dans la vue 2. Un δ plus petit ne fait que retarder la séparation car l'écart croît exponentiellement : $d(t)\approx d_0 e^{\lambda t}$ — λ reste fixe, seul le «temps seuil» se décale.

3. Balayer ρ à travers la frontière du chaos

   Abaissez ρ vers 20–24 : la trajectoire peut converger vers un point fixe stable au lieu du chaos (la frontière de stabilité est proche de ρ ≈ 24.74). Comparez les formes d'attracteur de part et d'autre — la bifurcation au franchissement d'un seuil est une notion centrale de la théorie du chaos.

4. Estimer l'exposant de Lyapunov

   Avec δ = 0,1, lisez dans la vue 2 deux instants (t₁, t₂) et les écarts (d₁, d₂) dans la zone de croissance log-linéaire. Calculez $\lambda\approx\ln(d_2/d_1)/(t_2-t_1)$ ; λ > 0 confirme le chaos. Prévoyez que λ mesuré avec δ = 1 doit être identique — vérifiez.

Simulation

Histoire de l’expérience

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