相对论

爱因斯坦公设与洛伦兹变换

爱因斯坦的两条公设导出洛伦兹变换：物理定律在所有惯性系中相同，真空光速 c 恒定。

设 S′ 相对 S 沿 +x 以速度 v 运动。为保持真空光速不变，坐标变换必须混合空间和时间；同一事件在两个系中的位置与时刻通常不同。

x′=γ(x−vt),\quad t′=γ\left(t−\frac{vx}{c^2}\right),\quad y′=y,\ z′=z,\quad γ=\frac{1}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

定义: 定义

因子 $γ=(1−v^2/c^2)^{-1/2}$ 衡量相对论效应强弱。逆变换将 v 替换为 −v。公式假设惯性系坐标轴平行并沿 x 匀速相对运动。

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物理意义

光脉冲满足 x=ct，变换后仍满足 x′=ct′，因此光速 c 保持不变。当 v≪c 时 γ≈1，结果接近伽利略运动学。

例题: 定量示例

在 S 系中事件位于 x=300,000 km、t=2.0 s。若 v=0.6c，求其在 S′ 系中的坐标。

解答

γ=1.25，c=300,000 km/s，因此 x′=−75,000 km、t′=1.75 s。

洛伦兹变换具有群结构：同一直线上的两个 boost 可合成为速度 $u=(v+w)/(1+vw/c^2)$ 的一次 boost。分母使合成速度不会超过 $c$ ；当 $v,w\ll c$ 时，该规则退化为伽利略速度相加。

例题: 相对论速度合成

飞船相对地球以 $0.8c$ 运动，并以相对飞船 $0.7c$ 的速度向前发射探测器。用洛伦兹速度合成律求探测器相对地球的速度。

解答

$u=1.5c/1.56\approx0.962c$ 。结果仍小于 $c$ ，符合光速不变。

两条公设也约束同时性：站台两端的闪电在站台系同时发生，在经过的列车系中却未必同时。时间变换中的 $-vx/c^2$ 项编码了同时性的相对性。所有惯性观察者并不共享一个绝对时间；洛伦兹变换保留因果关系，但不要求各系的时间测量相同。

当 v=0.6c 时，洛伦兹因子 γ 是多少？

哪一量在洛伦兹变换下不变？