相对论

闵可夫斯基时空

空间和时间构成四维时空；事件之间的时空间隔在洛伦兹变换下不变。

事件是时空中的一点，坐标为 (ct,x,y,z)。时间与空间分量符号相反，因此它不是普通的四维欧几里得距离。

s^2=c^2\Delta t^2−\Delta x^2−\Delta y^2−\Delta z^2

定义: 定义

对于两个事件， $s^2>0$ 为类时， $s^2=0$ 为类光， $s^2<0$ 为类空（采用此处符号约定）。类空间隔的事件无法以不超过光速的信号建立因果联系。

调节参数观察实时结果，并拖动画布旋转视角。

物理意义

有质量物体的世界线位于光锥内部，光线位于锥面上。光锥划分某事件能够影响或被影响的事件范围。

例题: 定量示例

Δt=5 μs、Δx=900 m，其余空间位移为零，取 c=300 m/μs。求 s² 并判断间隔类型。

解答

$s²=(300·5)²−900²=1,440,000$ m²>0。该间隔为类时，存在一个参考系使两个事件发生在同一位置。

每位惯性观察者都选取一个时间轴和三个空间轴，但 boost 只改变时空分解为这些坐标的方式。光锥把事件划分为未来、过去以及亚光速信号无法到达的区域；这种因果结构与观察者无关。

例题: 时空间隔分类

两个事件的间隔为 $\Delta t=4\,\mu s$ 、沿一轴的 $\Delta x=1{,}500\,m$ 。取 $c=300\,m/\mu s$ 、 $s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2$ ，判断两事件能否有因果联系。

解答

$c\Delta t=1{,}200\,m$ ，故 $s^2=-810{,}000\,m^2<0$ 。这是类空间隔，任何不超光速的信号都无法连接这两个事件。

坐标 $ct$ 的单位是长度；在此符号约定下，间隔为 $ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ 。洛伦兹变换是保持该二次型的双曲旋转，类似欧氏旋转保持 $x^2+y^2$ 。符号差异产生光锥，并区分类时、类空和类光间隔；时间不是普通欧氏空间方向。

若两个事件间 s²=0，它们属于哪种间隔？

哪一量在洛伦兹变换下不变？