相对论

相对论动量与能量，E = mc²

能量与动量组成四动量；不变静质量满足能量—动量关系。

静质量为 m 的物体以速度 v 运动时，动量 p=γmv、总能量 E=γmc²。静止能量 E₀=mc² 在物体静止时仍然存在。

E^2=(pc)^2+(mc^2)^2,\qquad E=γmc^2,\quad p=γmv

定义: 定义

能量—动量四矢量为 $P^μ=(E/c,\mathbf p)$ ，其不变量满足 $E^2−p^2c^2=m^2c^4$ 。光子 m=0，故 $E=pc$ ；有质量粒子的动能为 $K=E−mc^2$ 。

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物理意义

当 m 表示不变静质量时，避免把 γmc² 称为“相对论质量”。区分质量与能量能使各参考系中的守恒律保持一致。

例题: 定量示例

质子静质量为 m，动量 p=mc。以 mc² 为单位求总能量和动能。

解答

由关系式得 $E=√2 mc²$ ，因此 $K=(√2−1)mc²≈0.414mc²$ 。

例题: 相对论动能

静能为 $mc^2=1.0\,GeV$ 的粒子以 $v=0.8c$ 运动。求以 $mc$ 为单位的动量和以 $GeV$ 为单位的动能。

解答

$γ=5/3$ ，因此 $p=(4/3)mc$ ， $E=1.667\,GeV$ 。动能为 $K=E-mc^2=0.667\,GeV$ ，并满足 $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$ 。

四动量 $P^\mu=(E/c,\mathbf p)$ 在时间分量为负的符号约定下满足闵可夫斯基范数 $P_\mu P^\mu=-m^2c^2$ ，从而得到 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ 。该式既适用于有质量粒子，也适用于 $m=0$ 的光子。 $m$ 是不变质量，不随速度增加；“相对论质量”一词容易混淆质量与能量。在质心系中总动量为零，但系统能量仍可贡献于其不变质量。

碰撞中单个粒子的动能未必守恒，但孤立系统的总四动量守恒。初始动能可以转化为新的静质量，因此产物的静能可能不同于初始静能总和。光子的不变质量为零，故 $E=pc$ ，但仍携带能量和动量。两个相向传播的光子组成的系统可以具有非零不变质量。

快速检测

粒子的不变质量为 m，动量 p=mc。它的总能量是多少？

哪一量在洛伦兹变换下不变？

参考文献

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity