相对论

等效原理

在足够小的区域内，均匀引力场的效应与参考系加速度局部不可区分；这一原理是广义相对论的出发点。

设想你身处封闭电梯。在地球上静止时，地板支撑着你；在空旷太空中加速时，地板也会以相似方式推你。在足够小的范围内，两种情况产生相同的力学结果。

a_{\text{grav}} \leftrightarrow a_{\text{frame}}

定义: 局部表述

爱因斯坦等效原理指出，在足够小的自由落体实验室中，非引力物理定律呈现狭义相对论的形式。“局部”很关键：非均匀引力场会产生潮汐效应，无法通过改变参考系在有限区域内完全消除。

比较加速参考系中的轨迹与质量附近的运动。扩大观测区域可看到潮汐效应。

从力到几何

被固定在引力场中的观察者具有固有加速度，而理想自由落体观察者感受不到重量。在广义相对论中，自由物体沿弯曲时空的测地线运动；潮汐效应揭示的是曲率，而非可由坐标变换消去的均匀力。

例题: 加速电梯

太空中的电梯以 $a=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ 向上加速。一个物体相对舱体静止后被释放。物体相对舱体的加速度方向和大小是什么？

解答

在太空惯性系中，物体不受力、无加速度，而舱体向上加速。因此相对舱体，物体以 $9.8\,\mathrm{m/s^2}$ 向下加速，正如等效引力场中的自由落体。

例题: 估算潮汐加速度

牛顿引力场中 $g(r)=GM/r^2$ 。两个试验质量位于距源 $r$ 处，沿径向相隔 $L\ll r$ 。估算它们的加速度差，以说明有限大小的自由落体实验室为何不能消除所有引力效应。

解答

一阶近似为 $\Delta g\simeq (dg/dr)L=-2GM L/r^3$ 。其大小是径向潮汐加速度：自由落体消除了实验室中心处的共同加速度，却未消除引力场梯度。

在足够小的实验中，能否通过力学测量区分均匀引力场与舱体加速度？

等效性为何只在局部成立？