相对论

微分几何与时空曲率

度规编码距离和固有时；黎曼张量描述时空曲率。

ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu

定义: 核心量

度规和场张量的分量依赖坐标，但物理预言必须保持不变。核心关系为 $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ 。

拖动旋转视角并调节参数，观察几何与运动。

理解方程

度规编码距离和固有时；黎曼张量描述时空曲率。

例题: 极限与解释

考虑弱场、低速且远离源的区域。广义相对论应趋近相应的牛顿描述；在视界附近或强场中此近似失效。

解答

这体现对应原理：新理论在旧理论适用范围内复现其经检验的结果。

例题: 由测地线偏离测量曲率

在小区域内，两颗邻近自由落体粒子的间隔向量 $\xi^\mu$ 满足测地线偏离方程 $D^2\xi^\mu/D\tau^2=-R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu\xi^\alpha u^\beta$ 。相对加速度取决于黎曼张量，而非坐标选择。

解答

若区域内 $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}=0$ ，则不存在内禀潮汐加速度。反之，测量粒子云的相对加速度即可探测曲率分量，这赋予曲率可操作的物理意义。

在一般坐标中，克里斯托费尔符号 $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ 描述基底如何变化，但它不是张量，可通过坐标选择在一点令其为零。由 $\Gamma$ 的导数和二次项 $\Gamma\Gamma$ 构成的黎曼张量，在真实曲率非零处无法消去。缩并得到里奇张量与曲率标量；爱因斯坦张量 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12Rg_{\mu\nu}$ 的协变散度为零。这一层级区分坐标效应和可测的几何。

沿闭合回路平行移动向量可能改变其方向，累积旋转取决于回路所围曲率。平坦流形上的结果与路径无关，而弯曲流形中它测量整体效应 holonomy。这说明曲率属于度规与局部联络，而不是外部空间中的折叠。

快速检测

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参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation