相对论

爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程把时空曲率与物质的能量、动量和应力联系起来。

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

定义: 核心量

度规和场张量的分量依赖坐标，但物理预言必须保持不变。核心关系为 $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ 。

拖动旋转视角并调节参数，观察几何与运动。

理解方程

爱因斯坦场方程把时空曲率与物质的能量、动量和应力联系起来。

例题: 极限与解释

考虑弱场、低速且远离源的区域。广义相对论应趋近相应的牛顿描述；在视界附近或强场中此近似失效。

解答

这体现对应原理：新理论在旧理论适用范围内复现其经检验的结果。

例题: 检验能动量守恒

爱因斯坦张量满足缩并比安基恒等式 $\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0$ 。对完整场方程取协变导数，并使用 $\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$ 。能动张量 $T^{\mu\nu}$ 必须满足什么条件？

解答

宇宙学常数为常数时，左侧散度为零，故 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ 。这是协变的局域能动量守恒，要求几何与物质源彼此一致。

场方程相当于关于度规的十个非线性微分方程，并受比安基恒等式约束以保证一致性。在 $\Lambda=0$ 的真空中， $T_{\mu\nu}=0$ ，方程化为 $R_{\mu\nu}=0$ ，但黎曼张量仍可非零：外部引力场和引力辐射仍会弯曲时空。引力没有类似 $T_{\mu\nu}$ 的局域不变张量能量密度；引力能常由边界量或渐近观测量定义。因此初值问题和全局能量比牛顿力学更微妙。

求解需要边界条件或初始数据及规范选择；许多度规分量并非独立物理自由度。平直时空附近的弱场极限给出泊松方程 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ ，从而恢复牛顿引力。但全局解仍可能含有视界、奇点或线性化理论无法捕捉的波结构。

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参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation