相对论

施瓦西解与黑洞

在不旋转球形质量外部，施瓦西解预言施瓦西半径处存在事件视界。

r_s=\frac{2GM}{c^2}

定义: 核心量

度规和场张量的分量依赖坐标，但物理预言必须保持不变。核心关系为 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ 。

拖动旋转视角并调节参数，观察几何与运动。

理解方程

在不旋转球形质量外部，施瓦西解预言施瓦西半径处存在事件视界。

例题: 极限与解释

考虑弱场、低速且远离源的区域。广义相对论应趋近相应的牛顿描述；在视界附近或强场中此近似失效。

解答

这体现对应原理：新理论在旧理论适用范围内复现其经检验的结果。

例题: 估算施瓦西半径

施瓦西半径为 $r_s=2GM/c^2$ 。用太阳质量 $M_\odot=1.99\times10^{30}\,kg$ 、 $G=6.67\times10^{-11}\,SI$ 和 $c=3.00\times10^8\,m/s$ 估算，并说明这为何不意味着太阳现在是黑洞。

解答

$r_s\approx2.95\times10^3\,m$ ，约为 $3\,km$ 。太阳半径约 $7\times10^8\,m$ ，远大于此；只有质量被压缩到 $r_s$ 内部才会形成视界。

施瓦西坐标下，度规的时间系数为 $1-r_s/r$ ，径向系数为 $(1-r_s/r)^{-1}$ 。在 $r=r_s$ 的坐标奇点并非曲率发散；改用爱丁顿—芬克尔斯坦或克鲁斯卡尔坐标，度规可正则穿过视界。在该半径处，向外传播的光也无法从视界内逃逸。视界是全局因果边界，而非物质表面。球对称和不旋转是重要假设；真实旋转黑洞需用克尔解描述。

在球对称条件下，伯科夫定理指出真空外部必为静态施瓦西时空，即使内部质量分布不均匀。它并不描述正在坍缩的内部或旋转黑洞。远处观察者看到引力红移和越来越迟到的信号，而自由落体观察者会在有限固有时内穿过视界。

快速检测

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参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation