牛顿力学

斜面

将重力分解为沿斜面和垂直斜面的分量，可分析运动与摩擦。

斜面是一种简单机械：沿斜面提升物体所需拉力小于竖直提升，但移动距离更长。分析滑动时，可沿斜面方向和垂直方向分解重力。

P_{\parallel}=mg\sin\theta,\qquad N=mg\cos\theta

定义: 重力的分量

斜面与水平夹角为 $\theta$ 时，重力 $mg$ 沿斜面向下的分量为 $mg\sin\theta$ ，垂直分量为 $mg\cos\theta$ 。若物体沿斜面法向无加速度，则支持力 $N=mg\cos\theta$ 。摩擦力沿斜面方向。

调节倾角、质量和摩擦，观察重力分量、支持力与沿斜面加速度。

沿斜面运动

忽略摩擦时，沿斜面应用牛顿第二定律得向下加速度 $a=g\sin\theta$ 。若滑动摩擦系数为 $\mu_k$ 且物体正向下滑，则 $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$ ；该式以向下滑动为前提。沿斜面重力分量不超过最大静摩擦力时，静摩擦可使物体保持静止。

例题: 无摩擦时的加速度

物体沿 $30^\circ$ 斜面无摩擦下滑，取 $g=9.8\,m/s^2$ ，求沿斜面加速度。

解答

$a=g\sin30^\circ=9.8\times0.5=4.9\,m/s^2$ ，沿斜面向下。

在倾角 30° 的斜面上，质量 4 kg 的箱子沿斜面向下的重力分量为 $mgsin30°=20 N$ （取 $g=10 m/s²$ ），支持力为 $mgcos30°≈34.6 N$ 。无摩擦时其加速度为 5 m/s²，与质量无关。斜面用较小的力换取较长的移动距离，并不会消除提升货物所需的功。

例题: 斜面上的力

物块沿无摩擦的 30° 斜面滑下，取 g=10 m/s²，求其加速度。

解答

a=g sin30°=10×0.5=5 m/s²，沿斜面向下。

判断摩擦方向时，先确定物体沿斜面实际运动或即将运动的方向。重力的法向分量影响接触压力，平行分量则促使物体沿斜面下滑。装货坡道和滑梯都能体现这两个作用。

与水平夹角 θ 的斜面上，沿斜面的重力分量是什么？

若物体沿斜面法向无加速度，支持力 N 是多少？