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电动力学

麦克斯韦方程组

麦克斯韦四方程将电荷、电流与变化的电场、磁场联系起来。

微分形式描述场与源的局域关系；积分形式表达穿过曲面的通量和沿闭合路径的环量。

∇⋅E=ρ/ε0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B/∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t∇·E = ρ/ε₀, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

定义: 物理量与模型

电场高斯定律：∇·E = ρ/ε₀。磁场高斯定律：∇·B = 0。法拉第定律：∇×E = −∂B/∂t。安培–麦克斯韦定律：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t。

调整参数并旋转视图以观察场结构；这是示意模型，不是通用麦克斯韦求解器。

解释与推论

对安培–麦克斯韦方程取散度并结合连续性方程 ∂ρ/∂t + ∇·J = 0，可知 ∂E/∂t 项是电荷守恒所必需的。

例题: 定量示例

在无源真空中，对法拉第定律取旋度并使用安培–麦克斯韦定律，得 ∇²E − μ₀ε₀∂²E/∂t² = 0，传播速度 c = 1/√(μ₀ε₀)。

解答

代入所给关系，保持 SI 单位一致并检查结果量纲。

对两个旋度方程取散度可得 ∂tρ+∇⋅J=0\partial_t\rho+\nabla\cdot J=0，前提是初始时高斯定律成立；这就是局域电荷守恒。反过来，若电荷守恒是基本原理，位移电流项便使安培定律与之相容。积分形式揭示物理含义：穿过闭合曲面的电通量计量电荷，沿其边界的场环量则与传导电流及电通量变化相关。

两个高斯定律与两个旋度方程构成带约束的演化系统。由于 ∇⋅B=0\nabla\cdot B=0，法拉第旋度方程的散度恒为零；只要连续性方程成立，电场高斯定律在时间演化中保持相容。求解初值问题时，初始数据必须满足两个高斯约束，随后旋度方程会保持这些约束。这一结构对数值计算也很重要，否则离散误差可能导致约束漂移。

在真空中，ε0\varepsilon_0 与 μ0\mu_0 决定有限传播速度 c=(μ0ε0)−1/2c=(\mu_0\varepsilon_0)^{-1/2}。这不仅是波动解的结果，也将电、磁测量联系到电动力学的因果结构。

快速检测

在所述理想情形中，哪一关系正确？

应用场公式时首先应检查什么？

参考文献

  1. James Clerk Maxwell (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism
  2. David J. Griffiths (2017). Introduction to Electrodynamics