电动力学

电偶极辐射

加速电荷会辐射；远场电偶极辐射具有 sin²θ 角分布，平均功率正比于 ω⁴p₀²。

考虑沿 z 轴振荡的短电偶极子 p(t) = p₀ cos(ωt)。在辐射区 r ≫ λ，横向场按 1/r 衰减并向外输送能量。

解释与推论

总平均辐射功率 P = μ₀ω⁴p₀²/(12πc)。ω⁴ 因子说明振荡频率越高辐射越强；近场还含 1/r² 与 1/r³ 项。

对立体角积分时使用 $\int\sin^2\theta\,d\Omega=8\pi/3$，得到 $\langle P\rangle=\mu_0\omega^4p_0^2/(12\pi c)$。辐射方向图有两个波瓣，偶极轴线上没有辐射。短偶极近似要求源尺寸远小于波长；否则源各处相位不同，高阶多极项会同时改变总功率和角分布。

角分布体现了辐射偏振：远区电场同时垂直于观测方向 $\hat r$ 和偶极矩 $\hat z$。半径为 $r$ 的球面通量为 $r^2\langle S_r\rangle$，因此场虽按 $1/r$ 衰减，总功率却与距离无关。源附近的 $1/r^2$ 和 $1/r^3$ 项使能量周期性储存在场中，而不是持续传向无穷远。

远场条件为 $kr\gg1$；在远距离极限，只有按 $1/r$ 衰减的辐射项对穿过球面的有限向外功率有贡献。因此，天线设计强烈依赖工作频率。

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