Cơ học chất lưu

Phương trình Bernoulli

Bảo toàn năng lượng cho dòng chảy ổn định: nơi nào chất lưu chảy nhanh hơn thì áp suất ở đó thấp hơn.

Phương trình Bernoulli là dạng phát biểu của định luật bảo toàn năng lượng áp dụng cho dòng chảy ổn định, không nhớt, không nén được của một chất lưu dọc theo một đường dòng. Nó liên hệ áp suất, vận tốc và độ cao của chất lưu tại các điểm khác nhau trên cùng một đường dòng.

p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant along a streamline}

$p$ là áp suất tĩnh, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ có thể coi là 'áp suất động' (liên quan tới động năng của chất lưu chuyển động), và $\rho g h$ là 'áp suất do trọng trường' (liên quan tới thế năng theo độ cao $h$ ). Tổng ba số hạng này không đổi dọc theo một đường dòng, nếu bỏ qua ma sát nhớt.

Thu hẹp tiết diện ống Venturi và xem áp suất ở họng tụt xuống ngay khi vận tốc tăng lên — đúng như phương trình Bernoulli dự đoán.

Mối liên hệ với phương trình liên tục

Phương trình Bernoulli thường đi cùng phương trình liên tục $A_1 v_1 = A_2 v_2$ (bảo toàn lưu lượng, hệ quả của bảo toàn khối lượng cho chất lưu không nén được): khi tiết diện ống $A$ giảm, vận tốc $v$ phải tăng để giữ lưu lượng không đổi. Kết hợp hai phương trình cho ống nằm ngang ( $h$ không đổi):

p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 > v_1 \implies p_2 < p_1

Đây là lý do vì sao tiết diện càng nhỏ, vận tốc càng lớn thì áp suất càng thấp — hiệu ứng dùng để đo lưu lượng (ống Venturi), tạo lực nâng cho cánh máy bay, và giải thích vì sao rèm cửa sổ ô tô bị hút ra ngoài khi xe chạy nhanh.

Định nghĩa: Đường dòng

Đường dòng là đường mà tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với hướng vận tốc của phần tử chất lưu tại điểm đó, tại một thời điểm cho trước. Trong dòng chảy ổn định (không đổi theo thời gian), đường dòng trùng với quỹ đạo thực của các hạt chất lưu.

Ví dụ: Áp suất tại họng ống Venturi

Nước chảy trong ống nằm ngang, tiết diện đầu vào gấp đôi tiết diện họng ( $A_1 = 2A_2$ ). Nếu áp suất đầu vào $p_1 = 200$ kPa và vận tốc đầu vào $v_1 = 2$ m/s, tính áp suất tại họng (ρ = 1000 kg/m³).

Lời giải

Từ liên tục: $v_2 = v_1 A_1/A_2 = 2 \times 2 = 4$ m/s. Từ Bernoulli: $p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200000 + 0{,}5 \times 1000 \times (4 - 16) = 200000 - 6000 = 194\,000$ Pa.

Trắc nghiệm nhanh

Ví dụ: Tốc độ nước chảy ra từ bể

Một lỗ nhỏ nằm thấp hơn mặt thoáng $h=1.25,mathrm m$ . Với bể lớn hở khí quyển, vận tốc mặt thoáng gần bằng không và áp suất tại mặt thoáng, lỗ thoát đều là áp suất khí quyển. Bernoulli cho $v=sqrt{2gh}=sqrt{2(9.8)(1.25)}approx4.95,mathrm{m/s}$ . Đây là kết quả lý tưởng; độ nhớt, co dòng ở lỗ và kích thước bể hữu hạn làm vận tốc thực nhỏ hơn.

Trong một ống nằm ngang, nếu tiết diện ống giảm thì áp suất chất lỏng tại đó sẽ:

Phương trình Bernoulli về bản chất là sự áp dụng định luật bảo toàn nào?

Tài liệu tham khảo

Daniel Bernoulli (1738). Hydrodynamica
Kundu, Cohen, Dowling (2015). Fluid Mechanics