Cơ học chất lưu

Phương trình liên tục

Bảo toàn khối lượng làm lưu lượng khối qua mọi mặt cắt của dòng ổn định bằng nhau.

Trong dòng ổn định, chất lỏng không tích tụ tại một đoạn ống: khối lượng vào mỗi giây bằng khối lượng đi ra. Với chất lỏng không nén được, ống hẹp khiến vận tốc trung bình tăng.

\dot m=\rho Av=\text{constant},\qquad A_1v_1=A_2v_2\quad(\rho=\text{constant})

Định nghĩa: Lưu lượng

Lưu lượng thể tích $Q=Av$ đo bằng m³/s; lưu lượng khối là $\dot m=\rho Av$ đo bằng kg/s. $v$ là vận tốc trung bình theo phương vuông góc mặt cắt. Dạng tổng quát áp dụng cho chất lỏng nén được khi mật độ thay đổi.

Quan sát các vệt hạt dày hơn và vận tốc lớn hơn trong đoạn ống hẹp, trong khi lưu lượng không đổi.

Ống thu hẹp

Với mật độ không đổi, $Q=Av$ được bảo toàn. Nếu bán kính ống giảm một nửa, diện tích giảm bốn lần và vận tốc trung bình tăng bốn lần. Các đường dòng dồn gần nhau biểu thị vận tốc tăng, không phải lưu lượng tăng.

Dòng nén được

Với khí nén được, mật độ có thể thay đổi dọc ống; khi đó phương trình đúng là $\rho Av=\mathrm{constant}$ . Quan hệ $Av=\mathrm{constant}$ chỉ dùng khi có thể xem mật độ không đổi.

Ví dụ: Tốc độ trong vòi

Nước đi từ ống đường kính 4 cm, tốc độ 0,50 m/s, vào vòi đường kính 2 cm. Tính tốc độ trung bình trong vòi.

Lời giải

$A_1/A_2=(4/2)^2=4$ , nên $v_2=v_1A_1/A_2=2.0\,\mathrm{m/s}$ .

Trắc nghiệm nhanh

Ví dụ: Lưu lượng qua vòi thu hẹp

Nước đi từ ống đường kính $4.0,mathrm{cm}$ vào vòi đường kính $2.0,mathrm{cm}$ . Diện tích tỉ lệ với bình phương đường kính nên $A_2=A_1/4$ . Nếu vận tốc trung bình ban đầu là $0.50,mathrm{m/s}$ , bảo toàn lưu lượng cho $v_2=(A_1/A_2)v_1=2.0,mathrm{m/s}$ . Lưu lượng vẫn bằng nhau: $Q=A_1v_1=A_2v_2$ ; tốc độ tăng vì tiết diện giảm, không phải vì lượng nước được tạo thêm.

Ống tròn không nén được giảm bán kính còn một nửa. Tốc độ trung bình tăng thế nào để giữ lưu lượng?

Dòng khí nén được ổn định bảo toàn đại lượng nào?

Tài liệu tham khảo

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics