Cơ học lượng tử

Dao động tử điều hòa lượng tử

Dao động tử lượng tử có mức năng lượng cách đều $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$ và năng lượng điểm không.

Con lò xo lượng tử là mô hình có thể giải chính xác, dùng để mô tả dao động gần cân bằng trong phân tử, mạng tinh thể và nhiều hệ trường. Khác với con lắc cổ điển đứng yên ở đáy thế, trạng thái cơ bản vẫn có dao động lượng tử.

V(x)=\frac12m\omega^2x^2,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right),\quad n=0,1,2,...

Định nghĩa: Năng lượng điểm không

Mức thấp nhất là $E_0=\hbar\omega/2$ , không phải 0. Hàm sóng cơ bản là Gaussian có độ rộng $\Delta x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ và $\Delta p=\sqrt{m\hbar\omega/2}$ ; tích của chúng đạt $\hbar/2$ .

Chuyển mức

n

để xem mật độ

|\psi_n|^2

và năng lượng cách đều; điểm không dao động làm đáy thế vẫn có mật độ hữu hạn.

Các trạng thái kích thích

Hàm riêng được tạo từ đa thức Hermite nhân Gaussian. Trạng thái thứ $n$ có $n$ nút và xác suất phân bố ở cả hai phía của các nút. Phổ cách đều làm cho dao động tử trở thành cơ sở hữu ích để khai triển các thế gần parabol.

Ví dụ: Khoảng cách mức

Dao động tử có tần số $\nu=5.0\times10^{13}$ Hz. Tính khoảng cách năng lượng liền kề $E_{n+1}-E_n$ .

Lời giải

$\Delta E=\hbar\omega=h\nu=6.626\times10^{-34}\times5.0\times10^{13}=3.31\times10^{-20}$ J $=0.207$ eV.

Dùng toán tử nâng và hạ, $a$ và $a^\dagger$ , giúp xây dựng phổ mà không giải trực tiếp phương trình vi phân. Chúng thỏa $[a,a^\dagger]=1$ và $H=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)$ . Trạng thái cơ bản bị triệt tiêu bởi $a$ , nên năng lượng vẫn là $\hbar\omega/2$ ; các trạng thái kích thích thu được bằng cách áp dụng $a^\dagger$ lặp lại. Mật độ xác suất trạng thái cơ bản là Gaussian, còn trạng thái bậc cao có các nút. Mô hình này xấp xỉ tốt dao động nhỏ quanh cực tiểu thế năng và là nền tảng cho phonon trong tinh thể.

Trắc nghiệm nhanh

Năng lượng trạng thái cơ bản của dao động tử lượng tử là gì?

Khoảng cách hai mức kề nhau phụ thuộc thế nào vào $n$ ?

Tài liệu tham khảo

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics