Physic Labs

Cơ học lượng tử

Spin và nguyên lý loại trừ Pauli

Spin là mômen động lượng nội tại lượng tử; nguyên lý Pauli gắn tính phản đối xứng của fermion với việc không thể chiếm cùng một trạng thái lượng tử.

Ngoài vị trí và chuyển động, hạt lượng tử còn có spin: một bậc tự do nội tại được đo như mômen động lượng. Với electron, phép đo spin theo một trục chỉ cho hai kết quả, dù trạng thái trước phép đo có thể là chồng chập.

S2=s(s+1)ℏ2,Sz∣s,m⟩=mℏ∣s,m⟩S^2=s(s+1)\hbar^2,\qquad S_z|s,m\rangle=m\hbar|s,m\rangle

Định nghĩa: Spin-1/2 và trạng thái spin

Electron có s=1/2s=1/2. Trong cơ sở riêng của SzS_z, một trạng thái chuẩn hóa là ∣ψ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\psi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle, với ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1. Xác suất nhận kết quả +ℏ/2+\hbar/2 là ∣α∣2|\alpha|^2; kết quả kia có xác suất ∣β∣2|\beta|^2.

Quay vector trạng thái trên cầu Bloch rồi xem từ trường không đồng nhất tách chùm thành hai vệt có xác suất Born.

Cầu Bloch: trạng thái là hướng

Bỏ qua pha toàn cục, mọi trạng thái thuần spin-1/2 ứng với một điểm trên mặt cầu đơn vị: ∣ψ⟩=cos⁡(θ/2)∣+z⟩+eiϕsin⁡(θ/2)∣−z⟩|\psi\rangle=\cos(\theta/2)|+z\rangle+e^{i\phi}\sin(\theta/2)|-z\rangle. Thành phần trung bình là ⟨σ⟩=(sin⁡θcos⁡ϕ,sin⁡θsin⁡ϕ,cos⁡θ)\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta). Phép quay bởi trường từ làm hướng này tiến động; góc quay phụ thuộc tần số Larmor và thời gian.

P(+n)=1+r⋅n2,P(−n)=1−P(+n)P(+\mathbf n)=\frac{1+\mathbf r\cdot\mathbf n}{2},\qquad P(-\mathbf n)=1-P(+\mathbf n)

Đo spin và thống kê

Máy Stern–Gerlach lý tưởng có gradient từ trường, làm lực lên moment từ phụ thuộc vào thành phần spin dọc trục đo. Một hạt riêng lẻ đi vào một nhánh; chùm nhiều hạt tạo cường độ nhánh theo xác suất. Hướng phân tích vuông góc hướng chuẩn bị cho xác suất bằng nhau.

Ví dụ: Ví dụ: phép đo theo trục nghiêng

Chuẩn bị ∣+z⟩|+z\rangle, rồi đo theo trục tạo góc θ=60∘\theta=60^\circ với zz. Khi đó P(+)=cos⁡2(θ/2)=3/4P(+)=\cos^2(\theta/2)=3/4 và P(−)=1/4P(-)=1/4. Đây là tần suất kỳ vọng trong nhiều lần lặp, không phải kết quả phân số của một hạt.

Lời giải

La règle de Born donne P(+)=∣⟨+n∣+z⟩∣2=(1+cos⁡θ)/2=3/4P(+)=|\langle +\mathbf n|+z\rangle|^2=(1+\cos\theta)/2=3/4.

Trạng thái spin tổng quát viết ∣χ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\chi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle, với ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1. Đo spin theo trục zz cho kết quả ±ℏ/2\pm\hbar/2 với xác suất tương ứng ∣α∣2,∣β∣2|\alpha|^2,|\beta|^2. Thành phần pha tương đối không ảnh hưởng phép đo này nhưng quyết định giao thoa khi đo theo trục khác. Với nhiều electron, nguyên lý Pauli áp dụng cho toàn bộ trạng thái một hạt, gồm cả tọa độ và spin; phản đối xứng hóa giải thích cấu trúc lớp vỏ nguyên tử.

Trắc nghiệm nhanh

Với spin-1/2 theo trục z, hai kết quả đo S_z là gì?

Nếu trục đo trùng với hướng phân cực, xác suất kết quả dương là bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics