Thuyết tương đối

Nghịch lý cặp song sinh

Sau một chuyến đi rồi quay về, người du hành có thể trẻ hơn người ở lại vì hai người đi theo các đường thế giới khác nhau và người du hành đổi hệ khi quay đầu.

Mô hình hóa người du hành đi đều với tốc độ v đến khoảng cách D rồi quay đầu tức thời và trở về cùng tốc độ. Thời gian trong hệ Trái Đất là $2D/v$ ; thời gian riêng của người du hành ngắn hơn trên cả hai chặng.

\Delta t_{\mathrm{Terre}}=\frac{2D}{v},\qquad \Delta\tau_{\mathrm{voyageur}}=\frac{2D}{v}\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}

Định nghĩa: Định nghĩa

Thời gian riêng tích lũy dọc theo đường thế giới của mỗi người. Người ở lại gần như luôn ở một hệ quán tính; người du hành tăng tốc khi quay đầu và chuyển hệ quán tính, nên hai trường hợp không đối xứng.

Điều chỉnh tham số để quan sát kết quả trực tiếp; kéo canvas để xoay góc nhìn.

Ý nghĩa vật lý

Gia tốc khi quay đầu có thể diễn ra trong thời gian ngắn. Mấu chốt không phải chỉ hỏi “ai đang chuyển động” mà là hai người đi theo đường thế giới khác nhau và tích lũy thời gian riêng khác nhau. Mô hình quay đầu tức thời bỏ qua chi tiết về lực đẩy và hấp dẫn.

Ví dụ: Ví dụ định lượng

Người du hành bay đến điểm cách Trái Đất 4 năm ánh sáng với tốc độ 0.8c rồi lập tức trở về. Hỏi thời gian trôi qua trên Trái Đất và với người du hành.

Lời giải

Trong hệ Trái Đất, thời gian là $2D/v=8/0.8=10$ năm. Với $γ=5/3$ , người du hành trải qua $10/γ=6$ năm, chưa tính thời gian quay đầu.

Ví dụ: Thời gian riêng trên chuyến đi

Một phi hành gia bay đến một ngôi sao cách Trái Đất $4$ năm ánh sáng với tốc độ $0.8c$ , quay đầu nhanh rồi trở về. Bỏ qua thời gian tăng tốc, hãy so sánh thời gian trên Trái Đất và đồng hồ của phi hành gia.

Lời giải

Trên Trái Đất, thời gian là $2(4)/0.8=10$ năm. Với $γ=1/\sqrt{1-0.8^2}=5/3$ , thời gian riêng trên mỗi chặng cộng lại là $10/γ=6$ năm. Kết quả khác nhau vì hai đường thế giới nối cùng điểm gặp không có cùng độ dài thời gian riêng.

Thời gian mà một người tích lũy được là độ dài của đường thế giới giữa hai lần gặp, theo metric Lorentz: $\tau=\int\sqrt{1-v^2/c^2}\,dt$ trong hệ Trái Đất. Giữa cùng hai sự kiện tái ngộ, người ở lại đi gần theo một đường quán tính, còn người du hành có hai nhánh vận tốc và đổi hệ khi quay đầu. Gia tốc quay đầu có thể rất ngắn nhưng sự bất đối xứng không phải lời giải duy nhất: so sánh tích phân thời gian riêng trên hai đường thế giới cho kết quả trực tiếp.

Cần bỏ qua thời gian gia tốc chỉ để đơn giản hóa phép tính; kết quả về tuổi phụ thuộc toàn bộ đường thế giới chứ không phụ thuộc một cú quay đầu tức thời.

Trắc nghiệm nhanh

Trong mô hình chuyến đi khứ hồi, ai đổi hệ quy chiếu quán tính tại điểm quay đầu?

Đại lượng nào bất biến trong mọi phép biến đổi Lorentz?

Tài liệu tham khảo

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity