Physic Labs

Thuyết tương đối

Động lượng – năng lượng tương đối tính, E = mc²

Năng lượng và động lượng tạo thành bốn-động lượng; khối lượng nghỉ là bất biến và thỏa hệ thức năng lượng–động lượng.

Một vật có khối lượng nghỉ m chuyển động với tốc độ v có động lượng p=γmv và năng lượng toàn phần E=γmc². Năng lượng nghỉ E₀=mc² vẫn tồn tại khi vật đứng yên.

E2=(pc)2+(mc2)2,E=γmc2,p=γmvE^2=(pc)^2+(mc^2)^2,\qquad E=γmc^2,\quad p=γmv

Định nghĩa: Định nghĩa

Bốn-động lượng viết là Pμ=(E/c,p)P^μ=(E/c,\mathbf p) và có bất biến E2−p2c2=m2c4E^2−p^2c^2=m^2c^4. Với photon, m=0 nên E=pcE=pc; động năng của hạt có khối lượng là K=E−mc2K=E−mc^2.

Điều chỉnh tham số để quan sát kết quả trực tiếp; kéo canvas để xoay góc nhìn.

Ý nghĩa vật lý

Không nên gọi γmc² là “khối lượng tương đối tính” khi m biểu diễn khối lượng nghỉ bất biến. Dùng m và E riêng biệt giúp bảo toàn nhất quán năng lượng, động lượng trong mọi hệ.

Ví dụ: Ví dụ định lượng

Một proton có khối lượng nghỉ m và động lượng p=mc. Tính năng lượng toàn phần theo mc² và động năng.

Lời giải

Từ hệ thức năng lượng–động lượng: E2=(mc2)2+(mc2)2=2m2c4E^2=(mc^2)^2+(mc^2)^2=2m^2c^4, do đó E=2mc2E=\sqrt2 mc^2. Động năng bằng K=(\sqrt2−1)mc^2pprox0.414mc^2.

Ví dụ: Động năng tương đối tính

Một hạt có năng lượng nghỉ mc2=1.0 GeVmc^2=1.0\,GeV chuyển động với v=0.8cv=0.8c. Tính động lượng theo đơn vị mcmc và động năng theo đơn vị GeVGeV.

Lời giải

γ=1/1−0.82=5/3γ=1/\sqrt{1-0.8^2}=5/3. Do đó p=γmv=(4/3)mcp=γmv=(4/3)mc và E=γmc2=1.667 GeVE=γmc^2=1.667\,GeV. Động năng K=E−mc2=0.667 GeVK=E-mc^2=0.667\,GeV; kiểm tra E2−(pc)2=(mc2)2E^2-(pc)^2=(mc^2)^2.

Bốn-động lượng Pμ=(E/c,p)P^\mu=(E/c,\mathbf p) có metric Minkowski và chuẩn bất biến PμPμ=−m2c2P_\mu P^\mu=-m^2c^2 theo quy ước dấu âm cho thời gian. Suy ra E2=p2c2+m2c4E^2=p^2c^2+m^2c^4, đúng cho hạt có khối lượng và cả photon khi m=0m=0. Đại lượng mm là khối lượng bất biến, không tăng theo vận tốc; cách nói “khối lượng tương đối tính” dễ làm lẫn khối lượng với năng lượng. Trong hệ khối tâm, tổng động lượng bằng không nhưng tổng năng lượng vẫn có thể góp vào khối lượng bất biến của hệ.

Khi hai hạt va chạm, không nhất thiết bảo toàn năng lượng động học riêng của từng hạt, nhưng tổng bốn-động lượng của hệ kín được bảo toàn. Năng lượng nghỉ của sản phẩm có thể khác tổng năng lượng nghỉ ban đầu vì một phần động năng ban đầu chuyển thành khối lượng nghỉ mới. Với photon, E=pcE=pc do khối lượng bất biến bằng không; tuy vậy photon mang năng lượng và động lượng. Hai photon ngược chiều có thể tạo hệ có khối lượng bất biến khác không.

Trắc nghiệm nhanh

Một hạt có khối lượng bất biến m và động lượng p=mc. Năng lượng toàn phần của hạt là bao nhiêu?

Đại lượng nào bất biến trong mọi phép biến đổi Lorentz?

Tài liệu tham khảo

  1. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
  2. Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity