Cơ học Newton

Momen quán tính, chuyển động quay

Momen quán tính I=∫r²dm đo phân bố khối lượng quanh trục và là quán tính trong động lực học quay.

Hai vật cùng khối lượng nhưng khối lượng phân bố xa trục hơn sẽ khó tăng tốc quay hơn. Momen quán tính phụ thuộc cả khối lượng lẫn khoảng cách tới trục.

I=\int r_\perp^2dm, \qquad \tau_z=I\alpha, \qquad K_{rot}=\frac12I\omega^2

Định nghĩa: Momen quán tính

$r_\perp$ là khoảng cách vuông góc từ phần tử khối lượng đến trục; $I$ đo bằng kg·m². Quan hệ $\tau_z=I\alpha$ đúng với vật rắn quay quanh trục cố định. Quay 3D quanh trục thay đổi cần tensor quán tính.

So sánh vành, đĩa và trục quay; kiểm tra momen lực, gia tốc góc và động năng quay.

Một số công thức chuẩn

Vật và trục	Momen quán tính
Vành mỏng, trục đối xứng	$MR^2$
Đĩa đặc, trục đối xứng	$MR^2/2$
Thanh mảnh dài $L$ , trục qua tâm	$ML^2/12$

Các công thức giả định vật đồng chất và đúng trục như mô tả. Định lý trục song song: $I=I_{cm}+Md^2$ , với hai trục song song, lệch nhau $d$ .

Ví dụ: Đĩa chịu momen lực

Đĩa đặc $M=2$ kg, $R=0{,}30$ m có momen lực thuần $0{,}18$ N·m. Tìm gia tốc góc.

Lời giải

$I=MR²/2=0{,}09$ kg·m²; $\alpha=\tau/I=2$ rad/s².

Trắc nghiệm nhanh

Với vòng mỏng, mọi phần tử khối lượng nằm cách trục một khoảng $R$ , nên $I=MR^2$ . Với đĩa đặc đồng chất, khối lượng gần trục hơn trung bình và tích phân theo các vòng đồng tâm cho $I= frac12MR^2$ . Nếu mômen lực không đổi quanh trục cố định, gia tốc góc là $alpha= au/I$ ; do đó phân bố khối lượng xa trục hơn làm vật khó tăng tốc quay, dù tổng khối lượng không đổi.

Mômen quán tính phụ thuộc trục được chọn, vì khoảng cách vuông góc $r_perp$ thay đổi khi đổi trục. Định lý trục song song cho phép dùng kết quả quanh trục qua khối tâm rồi dịch sang trục song song: $I=I_{cm}+Md^2$ . Chẳng hạn thanh mảnh dài $L$ quanh một đầu có $I=ML^2/3$ , lớn hơn $ML^2/12$ quanh trục qua tâm. Luôn nêu rõ vật và trục trước khi dùng bảng công thức.

Đơn vị kg·m² phản ánh cả lượng khối lượng lẫn bình phương khoảng cách đến trục; tăng gấp đôi mọi khoảng cách làm $I$ tăng gấp bốn. Vì vậy luôn ghi trục cùng với giá trị số.

Vành mỏng và đĩa đặc cùng M,R quanh trục đối xứng, vật nào có I lớn hơn?

Với vật rắn quanh trục cố định, quan hệ quay là gì?

Tài liệu tham khảo

John R. Taylor (2005). Classical Mechanics