Cơ học lượng tử

Mômen động lượng và spin

Đại số mômen động lượng lượng tử quyết định các giá trị đo được; thí nghiệm Stern–Gerlach bộc lộ sự lượng tử hóa và phép ghép moment.

Mômen động lượng quỹ đạo $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ và spin $\mathbf S$ đều tuân theo cùng đại số giao hoán, nhưng spin là nội tại. Toán tử tổng $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ xác định các đại lượng bảo toàn và cấu trúc mức trong nguyên tử.

[J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\quad J^2= j(j+1)\hbar^2,\quad J_z=m\hbar

Định nghĩa: Giá trị lượng tử hóa

Với số lượng tử $j=0,1/2,1,\ldots$ , thành phần $J_z$ có các giá trị $m\hbar$ , trong đó $m=-j,-j+1,\ldots,j$ . Các thành phần khác nhau không đồng thời có giá trị xác định vì $[J_x,J_y]=i\hbar J_z$ .

Điều chỉnh hướng spin và trục phân tích để khảo sát xác suất hai vệt và lực tách chùm.

Tổng mômen và phép ghép

Khi ghép hai moment $j_1,j_2$ , trị số tổng có thể là $j=|j_1-j_2|,\ldots,j_1+j_2$ . Với electron có $s=1/2$ , tương tác spin–quỹ đạo tách các mức theo $j=l\pm1/2$ (nếu $l>0$ ). Xác suất chuyển giữa các cơ sở liên hệ bởi hệ số Clebsch–Gordan.

Ví dụ: Ví dụ: số vệt spin-1/2

Một chùm nguyên tử bạc qua nam châm có gradient theo z tạo hai vệt, tương ứng $m_s=+1/2$ và $-1/2$ . Nếu chuẩn bị phân cực hoàn toàn theo z, chỉ nhánh phù hợp xuất hiện; nếu phân cực theo x, hai nhánh có xác suất bằng nhau.

Lời giải

Vì $|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt2$ , phép đo $S_z$ cho mỗi kết quả xác suất $1/2$ .

Toán tử mômen động lượng thỏa $[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k$ , nên không thể đồng thời xác định chính xác mọi thành phần. Ta thường chọn đồng thời $L^2$ và $L_z$ : trị riêng lần lượt là $\hbar^2 l(l+1)$ và $\hbar m$ , với $m=-l,\ldots,l$ . Spin tuân cùng đại số nhưng không phải mômen quỹ đạo; với spin-1/2, $S^2=3\hbar^2/4$ và $S_z=\pm\hbar/2$ . Khi cộng hai mômen, cơ sở ghép có các giá trị $j=|j_1-j_2|,\ldots,j_1+j_2$ , rất hữu ích cho phổ nguyên tử và tương tác spin-quỹ đạo.

Trắc nghiệm nhanh

Một spin j có bao nhiêu giá trị m của J_z?

Với j=1/2, các giá trị m của J_z là gì?

Tài liệu tham khảo

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics