Cơ học lượng tử

Hệ nhiều hạt và hạt đồng nhất

Đối xứng hoán vị là một phần của trạng thái nhiều hạt: boson có hàm sóng đối xứng, fermion phản đối xứng, dẫn tới nguyên lý Pauli.

Các hạt đồng nhất không mang nhãn phân biệt có ý nghĩa vật lý. Khi hoán đổi hai hạt, trạng thái nhiều hạt đổi nhiều nhất một pha; trong ba chiều, các trường hợp quen thuộc là pha $+1$ cho boson và $-1$ cho fermion.

\Psi_{B}(1,2)=+\Psi_{B}(2,1),\qquad \Psi_{F}(1,2)=-\Psi_{F}(2,1)

Định nghĩa: Trạng thái hai fermion

Với hai spin-orbital trực chuẩn $a,b$ , trạng thái fermion chuẩn hóa là định thức Slater $|a,b\rangle_F=(|a(1)b(2)\rangle-|b(1)a(2)\rangle)/\sqrt2$ . Nếu $a=b$ , biểu thức bằng không: không thể đặt hai fermion cùng vào một spin-orbital. Hai electron vẫn có thể chung obitan không gian nếu spin khác nhau.

So sánh mật độ xác suất boson và fermion khi hai gói sóng tiến lại gần; nút phản đối xứng hiện rõ với fermion.

Boson, fermion và hệ nhiều hạt

Đối xứng toàn phần gồm cả tọa độ và spin. Với hai electron, hàm sóng tổng phải phản đối xứng: trạng thái spin singlet phản đối xứng đi cùng phần không gian đối xứng, còn triplet đối xứng đi cùng phần không gian phản đối xứng. Mô tả nhiều hạt thường dùng số chiếm và toán tử tạo–hủy.

Ví dụ: Ví dụ: trạng thái cơ bản của helium

Trong gần đúng độc lập, hai electron helium ở obitan $1s$ cùng không gian. Để toàn trạng thái phản đối xứng, spin của chúng ở singlet $S=0$ : $(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt2$ .

Lời giải

Phần không gian đối xứng dưới hoán đổi; vì thế phần spin phải phản đối xứng để tích hai phần đổi dấu.

Với hạt tương tác, Hamiltonian thường gồm động năng một hạt và thế cặp $V(\mathbf r_i-\mathbf r_j)$ . Trạng thái nền không nhất thiết là tích các trạng thái độc lập: tương quan tạo ra các đại lượng không thể suy ra từ mật độ một hạt. Trong gần đúng trường trung bình, mỗi hạt chuyển động trong thế hiệu dụng do các hạt còn lại tạo ra; phần dư được xử lý bằng các phương pháp tương quan. Với fermion, phản đối xứng sinh ra áp suất suy biến ngay cả ở nhiệt độ thấp. Những ý tưởng này nối cơ học lượng tử với vật chất ngưng tụ, nguyên tử lạnh và vật lý hạt nhân.

Trắc nghiệm nhanh

Tính chất nào áp dụng cho hàm sóng của hai fermion đồng nhất khi hoán đổi?

Hai electron có thể cùng chiếm một obitan không gian khi nào?

Tài liệu tham khảo

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics