Physic Labs

Cơ học lượng tử

Hình thức luận Dirac: trạng thái lượng tử và hai mức

Ký hiệu bra–ket biểu diễn trạng thái và phép đo một cách gọn gàng; một hệ hai mức cho thấy rõ sự tiến hóa kết hợp và dao động Rabi.

Trong hình thức Dirac, ket ∣ψ⟩|\psi\rangle là vector trạng thái, bra ⟨ψ∣\langle\psi| là đối ngẫu của nó, còn tích vô hướng ⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi|\psi\rangle là biên độ xác suất. Ký hiệu này không phụ thuộc vào việc biểu diễn bằng hàm sóng hay vector hữu hạn chiều.

iℏddt∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩,P(a)=∣⟨a∣ψ⟩∣2i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle,\qquad P(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2

Định nghĩa: Hệ hai mức

Một hệ hai mức có cơ sở ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle. Với Hamiltonian cộng hưởng H=ℏΩσx/2H=\hbar\Omega\sigma_x/2, trạng thái khởi đầu ∣0⟩|0\rangle tiến hóa thành cos⁡(Ωt/2)∣0⟩−isin⁡(Ωt/2)∣1⟩\cos(\Omega t/2)|0\rangle-i\sin(\Omega t/2)|1\rangle, nên xác suất tìm thấy ∣1⟩|1\rangle là sin⁡2(Ωt/2)\sin^2(\Omega t/2).

Điều chỉnh độ ghép và độ lệch cộng hưởng để quan sát xác suất chuyển mức theo thời gian.

Biểu diễn ma trận

Trong cơ sở ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle, ket là cột hai phần tử và toán tử là ma trận. Hamiltonian tổng quát có thể viết H=ℏ(Δσz+Ωσx)/2H=\hbar(\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x)/2. Độ lệch tần số Δ\Delta làm trục quay nghiêng khỏi mặt phẳng x; tần số dao động tổng hợp là ΩR=Ω2+Δ2\Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}.

Ví dụ: Ví dụ: xác suất chuyển mức

Ở cộng hưởng, sau thời gian t=π/(2Ω)t=\pi/(2\Omega), hệ khởi đầu ở ∣0⟩|0\rangle có xác suất ở ∣1⟩|1\rangle bằng sin⁡2(π/4)=1/2\sin^2(\pi/4)=1/2. Một xung t=π/Ωt=\pi/\Omega đưa trạng thái hoàn toàn sang ∣1⟩|1\rangle.

Lời giải

Thay Ωt/2=π/4\Omega t/2=\pi/4 vào P1=sin⁡2(Ωt/2)P_1=\sin^2(\Omega t/2) được P1=1/2P_1=1/2.

Trong hình thức luận Dirac, trạng thái là vector trong không gian Hilbert, còn đại lượng đo là toán tử Hermite. Với trạng thái chuẩn hóa ∣ψ⟩|\psi\rangle, giá trị kỳ vọng là ⟨A⟩=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle; khai triển theo cơ sở riêng của AA cho xác suất từng kết quả. Tích tensor mô tả hệ ghép, còn ma trận mật độ cho phép xử lý trạng thái hỗn hợp hoặc phần hệ bị bỏ qua. Ký hiệu bra-ket gọn nhưng không làm mất phép toán: phải giữ thứ tự toán tử vì chúng nói chung không giao hoán.

Trắc nghiệm nhanh

Ở cộng hưởng, xác suất chuyển mức dưới H=ℏΩσx/2 biến thiên thế nào?

Thời gian xung nào đưa trạng thái ban đầu hoàn toàn sang mức kia ở cộng hưởng?

Tài liệu tham khảo

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics