Cơ học lượng tử

Lý thuyết nhiễu loạn lượng tử

Nhiễu loạn cho phép ước lượng dịch chuyển mức năng lượng và trạng thái riêng khi Hamiltonian gần một bài toán đã giải được.

Nhiều Hamiltonian thực tế không giải chính xác được. Ta tách $H=H_0+\lambda V$ , trong đó $H_0$ đã biết phổ còn $V$ là hiệu chỉnh nhỏ. Khai triển theo tham số không thứ nguyên $\lambda$ cho dự đoán có kiểm soát khi trạng thái không suy biến và hiệu chỉnh đủ yếu.

E_n=E_n^{(0)}+\lambda\langle n|V|n\rangle+\lambda^2\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m|V|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+O(\lambda^3)

Định nghĩa: Hiệu chỉnh bậc nhất

Với mức không suy biến $|n\rangle$ , hiệu chỉnh năng lượng bậc nhất là $\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V|n\rangle$ . Trạng thái riêng cũng đổi; thành phần bậc nhất theo trạng thái khác tỉ lệ với $\langle m|V|n\rangle/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$ . Mẫu số nhỏ báo hiệu phải xử lý suy biến hoặc dùng phương pháp khác.

Theo dõi các mức của hệ hai trạng thái khi một nhiễu loạn ghép hai mức được bật dần.

Suy biến và phổ năng lượng

Nếu nhiều trạng thái có cùng năng lượng ban đầu, cần chéo hóa $V$ trong không gian suy biến trước khi dùng công thức nhiễu loạn thường. Với hai mức có chênh lệch $\delta$ và phần tử ghép $g$ , trị riêng chính xác tách thành $\pm\sqrt{(\delta/2)^2+|g|^2}$ quanh năng lượng trung bình. Ở cộng hưởng, khe bằng $2|g|$ .

Ví dụ: Ví dụ: dịch chuyển trong hộp

Một thế nhiễu loạn không đổi $V(x)=V_0$ trong hộp vô hạn có giá trị trung bình $\langle n|V|n\rangle=V_0$ . Mọi mức dịch thêm $\lambda V_0$ ở bậc nhất; độ lệch giữa các mức không đổi ở bậc này.

Lời giải

Từ $\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V_0|n\rangle$ và chuẩn hóa $\langle n|n\rangle=1$ , suy ra $\Delta E_n^{(1)}=\lambda V_0$ .

Ở bậc nhất, hiệu chỉnh năng lượng không suy biến là $E_n^{(1)}=\langle n|V|n\rangle$ . Ở bậc hai, các trạng thái khác đóng góp $E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}|V_{mn}|^2/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$ . Mẫu số cho thấy vì sao gần suy biến, đáp ứng có thể lớn dù nhiễu nhỏ; khi đó lý thuyết suy biến yêu cầu chéo hóa $V$ trong không gian suy biến trước. Tương tự, hiệu chỉnh trạng thái chứa thành phần trộn bậc nhất. Các biểu thức này giả sử nhiễu đủ yếu và trạng thái cô lập; phổ liên tục đòi hỏi xử lý chính tắc hóa khác.

Trắc nghiệm nhanh

Trong trường hợp không suy biến, hiệu chỉnh năng lượng bậc nhất là gì?

Khi mức suy biến, nên xử lý nhiễu loạn như thế nào?

Tài liệu tham khảo

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics