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量子力学

量子散射

散射把入射波与出射振幅的角分布联系起来；薛定谔方程和玻恩近似预测相互作用势的影响。

弹性散射中，具有确定渐近能量的粒子遇到势 V(r)V(r) 后沿某方向出射。基本可观测量是微分截面 dσ/dΩd\sigma/d\Omega，而非每个粒子的经典轨迹。

ψ(r)∼r→∞eikz+f(θ)eikrr,dσdΩ=∣f(θ)∣2\psi(\mathbf r)\underset{r\to\infty}{\sim}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2

定义: 波包与截面

波包具有有限动量展宽，比理想平面波更接近真实束流。波包中心接近散射区，偏转振幅形成远场概率图样。截面单位为面积，表示每单位入射通量、每单位立体角的散射概率。

调节波包与汤川/库仑势，观察概率密度、干涉和散射方向。

玻恩近似

若势能相对动能较弱，可在 Lippmann–Schwinger 积分中用入射波替代精确散射波。一阶玻恩振幅正比于动量转移 q=kf−ki\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i 处势 VV 的傅里叶变换。低能、强势或共振附近可能失效。

例题: 例：库仑散射

未屏蔽库仑势是长程的，卢瑟福截面强烈前向集中。汤川势 V(r)∝e−r/a/rV(r)\propto e^{-r/a}/r 引入屏蔽长度 aa，使作用程有效有限；增大 aa 会增强小角散射。

解答

因子 e−r/ae^{-r/a} 在距离远大于 aa 时抑制相互作用；a→∞a\to\infty 时恢复未屏蔽库仑势。

中心势弹性散射的振幅可作分波展开：f(θ)=∑l(2l+1)flPl(cos⁡θ)f(\theta)=\sum_l(2l+1)f_lP_l(\cos\theta)。每个通道具有相移 δl\delta_l；对实势，fl=eiδlsin⁡δl/kf_l=e^{i\delta_l}\sin\delta_l/k。总截面是各通道贡献之和，通过 S 矩阵的幺正性体现概率守恒。低能时，大角动量通道通常受离心势垒抑制，s 波可能占主导。截面随能量的变化可揭示散射长度和共振结构。

快速检测

散射微分截面正比于什么？

汤川势与未屏蔽库仑势有何区别？

参考文献

  1. Eugen Merzbacher (1998). Quantum Mechanics