Vật lý hạt cơ bản

Lượng tử hóa trường vô hướng

Lượng tử hóa trường vô hướng biến mỗi mode Fourier thành một dao động tử lượng tử; trạng thái hạt là kích thích của trường, còn chân không chứa dao động điểm không.

Trường thực φ(x) gán một đại lượng tại mỗi điểm không-thời gian. Dans le cas libre, décomposer en modes de moment donne un ensemble infini d’oscillateurs de fréquence ωₖ=√(k²+m²), chacun quantifié par des opérateurs création et annihilation.

\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4

Định nghĩa: Định nghĩa và nội dung vật lý

Trường lượng tử thỏa [φ(t,x),π(t,y)]=iδ³(x−y), trong đơn vị ℏ=c=1. Với trường thực, hạt và phản hạt đồng nhất; toán tử tạo a†ₖ tác động lên chân không để tạo một lượng tử momentum k.

Điều chỉnh tham số và kéo hình để quan sát mô hình động; các giá trị đọc được là minh họa định lượng theo giả thiết hiển thị.

Cấu trúc và ý nghĩa

Tương tác λφ⁴ cho phép các lượng tử tán xạ và sinh/hủy theo các đỉnh bốn chân. Hệ số 1/4! được chọn để quy tắc Feynman của đỉnh mang hệ số −iλ; số hạng tương tác phải xử lý nhiễu loạn hoặc phi nhiễu loạn.

Ví dụ: Ví dụ định lượng

Trong chân không tự do, trạng thái một hạt là |k⟩=a†ₖ|0⟩. Toán tử số hạt Nₖ=a†ₖaₖ cho Nₖ|k⟩=|k⟩, còn Hamiltonian mode có năng lượng ωₖ(Nₖ+1/2).

Lời giải

L’état contient exactement un quantum dans le mode k, au-dessus de l’énergie de point zéro ωₖ/2. L’énergie de point zéro totale diverge formellement et nécessite une définition régularisée dans les calculs de théorie des champs.

Để kiểm tra chuẩn hóa, đặt trường trong một hộp thể tích hữu hạn rồi thay tích phân moment bằng tổng rời rạc. Mỗi mode có toán tử số $N_{\mathbf k}$ và năng lượng $\omega_{\mathbf k}(N_{\mathbf k}+1/2)$ . Khi lấy giới hạn thể tích vô hạn, mật độ mode tăng liên tục; các đại lượng đo được cần được xây dựng sao cho giới hạn này hữu hạn.

Từ mật độ trạng thái một hạt suy ra toán tử trường tại mọi điểm bằng cách cộng các mode với hệ số chuẩn hóa Lorentz. Trường tại hai điểm khác nhau không nhất thiết giao hoán; với các điểm cách nhau kiểu không gian, điều kiện $[\phi(x),\phi(y)]=0$ bảo đảm không thể truyền tín hiệu nhanh hơn ánh sáng. Đây là yêu cầu nhân quả cốt yếu của trường lượng tử tương đối tính. Điều này liên hệ đại số trường địa phương với giới hạn nhân quả tương đối tính.

Tự kiểm tra

Toán tử nào tạo một hạt momentum k từ chân không?

Trong đơn vị ℏ=c=1, commutator chính tắc là gì?

Tài liệu tham khảo

Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I