Vật lý hạt cơ bản

Trường Dirac và fermion

Trường Dirac lượng tử hóa hạt spin 1/2 và phản hạt; phản giao hoán tử bảo đảm thống kê Fermi–Dirac và nguyên lý loại trừ Pauli.

Spinor Dirac ψ có bốn thành phần trong không-thời gian 3+1 chiều, chứa hai trạng thái spin của hạt và phản hạt. Phương trình Dirac kết hợp động học lượng tử với hiệp biến Lorentz, có nghiệm năng lượng dương và âm được diễn giải bằng trường phản hạt.

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0,\qquad \{b_r(\mathbf p),b_s^\dagger(\mathbf q)\}=(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)

Định nghĩa: Định nghĩa và nội dung vật lý

Trường khai triển theo toán tử hủy hạt b et phản hạt d†, với quy tắc phản giao hoán {b,b†}=δ. Dấu phản giao hoán thay cho giao hoán của boson, khiến hai fermion không thể cùng chiếm một mode.

Điều chỉnh tham số và kéo hình để quan sát mô hình động; các giá trị đọc được là minh họa định lượng theo giả thiết hiển thị.

Cấu trúc và ý nghĩa

Lagrangian tự do L=ψ̄(iγμ∂μ−m)ψ cho phương trình chuyển động Dirac. Tương tác điện từ thu được bằng thay ∂μ→Dμ=∂μ+ieAμ, tạo đỉnh photon–fermion; tính bất biến gauge bảo toàn dòng điện.

Ví dụ: Ví dụ định lượng

Với spinor tại p=(m,0,0,0), điều kiện phương trình Dirac tách các nghiệm u và v. Khi lượng tử hóa, b† tạo electron (hoặc fermion tương ứng) và d† tạo phản hạt; điện tích của phản hạt có dấu ngược.

Lời giải

Các mode v không phải “năng lượng âm” có thể khai thác làm hạt cổ điển; trong trường lượng tử chúng gắn với toán tử tạo phản hạt và phổ năng lượng dương.

Tính hiệp biến Lorentz không chỉ là yêu cầu hình thức: các thành phần spinor biến đổi cùng nhau để phương trình giữ nguyên dạng trong mọi hệ quán tính. Dòng xác suất một hạt được thay bằng dòng bốn chiều $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ , thỏa $\partial_\mu j^\mu=0$ khi phương trình chuyển động đúng. Trong lý thuyết trường, đại lượng này trở thành dòng điện tích bảo toàn và là cơ sở ghép trường Dirac với trường gauge.

Toán tử phản giao hoán cũng giải quyết sự bất ổn của phổ một hạt năng lượng âm: khai triển trường dùng toán tử hủy fermion cùng toán tử tạo phản hạt, để Hamiltonian có phổ dương. Khi hoán đổi hai toán tử fermion, dấu âm xuất hiện; tác động lên trạng thái nhiều hạt dẫn đến nguyên lý loại trừ và cấu trúc dấu của định thức Slater trong vật lý nguyên tử.

Tự kiểm tra

Fermion tuân thống kê nào?

Phản hạt của electron có điện tích nào?

Tài liệu tham khảo

Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I