粒子物理学

狄拉克场与费米子

狄拉克场量子化描述自旋 1/2 粒子及反粒子；反对易关系保证费米—狄拉克统计与泡利不相容原理。

在 3+1 维中，狄拉克旋量 ψ 有四个分量，描述粒子和反粒子各自的两个自旋态。狄拉克方程结合量子动力学与洛伦兹协变性，正负频率模量子化为粒子与反粒子场。

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0,\qquad \{b_r(\mathbf p),b_s^\dagger(\mathbf q)\}=(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)

定义: 定义与物理意义

场以粒子湮灭算符 b 和反粒子产生算符 d† 展开，满足反对易关系 {b,b†}=δ。反对易关系不同于玻色子对易关系，使两个费米子不能占据同一模式。

调节参数并拖动图形探索模型；读数是在所示假设下的定量示例。

结构与解释

自由拉格朗日量 L=ψ̄(iγμ∂μ−m)ψ 给出狄拉克方程。替换 ∂μ→Dμ=∂μ+ieAμ 引入电磁相互作用和光子—费米子顶点；规范不变性保证电流守恒。

例题: 定量示例

对静止动量 p=(m,0,0,0)，狄拉克方程解分为 u、v 旋量。量子化后 b† 产生粒子，d† 产生反粒子；反粒子具有相反电荷。

解答

v 模并非可作经典粒子使用的负能态；在量子场论中它们对应反粒子产生算符及正能谱。

洛伦兹协变性不只是形式要求：旋量分量协同变换，使方程在每个惯性系中保持同一形式。单粒子概率流推广为四维流 $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ ；满足场方程时有 $\partial_\mu j^\mu=0$ 。在场论中它成为守恒电荷流，并构成狄拉克场与规范场耦合的基础。

反对易关系也消除了单粒子负能量所暗示的不稳定性：场展开使用费米子湮灭算符和反粒子产生算符，使哈密顿量具有正能谱。交换两个费米子算符会产生负号；作用于多粒子态便导出不相容原理，也构成原子物理中Slater行列式的符号结构基础。

费米子服从哪种统计？

电子的反粒子带什么电荷？