Physic Labs
ステップ 1/4: 中心力は角運動量を保存する
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直感

重力は常に太陽をまっすぐ指すので、軌道を平面から「曲げる」ことも、回転運動を速めたり遅くしたりすることもできません。紐に球をつけて回すのと同じで、紐は中心へ引いても軌道自体を「ねじる」ことはできません。

F⃗=−GMmr2r^ ⇒ τ⃗=r⃗×F⃗=0 ⇒ L⃗=const\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r} \ \Rightarrow \ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0 \ \Rightarrow \ \vec{L} = \text{const}
解析

トルク τ⃗=r⃗×F⃗\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} は、F⃗\vec{F} が r⃗\vec{r} と平行なので消えます。したがって L⃗=m r⃗×r⃗˙\vec{L} = m\,\vec{r} \times \dot{\vec{r}} は大きさも向きも一定のベクトルです。L⃗\vec{L} の向きが固定されているので、軌道は L⃗\vec{L} に垂直な平面内に限られ、極座標 (r,θ)(r, \theta) で十分です。