流体力学

粘度とレイノルズ数

レイノルズ数 $Re = \rho vD/\mu$ と層流–乱流遷移を調べます。平均速度と粘度を変えてシミュレーション上の Re を読み、円管内の完全発達層流についてポアズイユ・プロファイル $u(r) = \Delta p(R^2 - r^2)/(4\mu\ell)$ を確かめます。

大学

器具

Re に応じて層流・乱流する粒子を示す3D配管（キャンバス、ドラッグで回転）
「Tốc độ trung bình」スライダー（m/s 表示）
「Độ nhớt động lực μ」スライダー（Pa·s 表示、両方の図に共通）
「Bán kính R」（mm）と「Độ sụt áp Δp」（kPa）のスライダー
読み取り「Re = ρvD/μ = …」と「u(r)=Δp(R²−r²)/(4μL); umax = …」

手順

レイノルズ数を測る
セクション1で「Tốc độ trung bình」と「Độ nhớt động lực μ」を動かし、両方の値（m/s と Pa·s）と読み取り「Re = ρvD/μ = … (water and D = 2 cm)」を確認します。 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ 、 $D = 0.02\ \mathrm{m}$ として $Re = \rho vD/\mu$ を手計算して照合します。Re が約2300を超えると色つき粒子が滑らかな筋から不規則な揺れへ変わるのを観察します。
慣性と粘性の役割を分ける
μ を固定して「Tốc độ trung bình」を上げると Re は線形に増えます。次に速度を固定して μ を上げると Re は反比例して減ります。同じ Re を与える (v, μ) の組を2つ記録し、それらが同じ流動状態を与えることを確かめます。無次元数が物理を集約する――バッキンガムのΠ定理による相似則と一致します。
ポアズイユ・プロファイルを確かめる
セクション2では u(r) 対 r/R のグラフが放物線です。「Bán kính R」と「Độ sụt áp Δp」を動かし、「umax = … m/s at r=0; u(R)=0」を読みます。 $L = 0.5\ \mathrm{m}$ として $u_{\max} = \Delta p R^2/(4\mu L)$ で検算し、放物線が壁面で速度ゼロ――層流のすべりなし条件――を与えることに注目します。
遷移と限界を予測する
μ を下げながら「Tốc độ trung bình」を最大にし、Re を予測してから値を読みます。読み取りの注意書き「Re ≈ 2300 is only a guide」に注目します。遷移は擾乱に依存し、静かな管ではより高い Re までずれ込みます。比較として、セクション2のポアズイユ・プロファイルは完全発達層流にのみ厳密で、乱流では平均プロファイルがより平たくなります。

シミュレーション

実験の歴史

流体の内部摩擦という考えは、ニュートンが『プリンキピア』（1687年）でずり変形する流体層について述べたのが始まりです。線形関係

\tau = \mu\,\partial u/\partial y

を満たす流体をニュートン流体といいます。1840年代、クロード＝ルイ・ナヴィエとジョージ・ガブリエル・ストークスが粘性を運動方程式（ナヴィエ–ストークス方程式）に組み込み、ジャン・レオナール・マリー・ポアズイユは毛細管内の流れを測定して放物線プロファイルと彼の名を冠する法則

Q \propto R^4\Delta p/(\mu\ell)

を見出しました。 1883年、オズボーン・レイノルズは有名な管内流れの実験を発表しました。ガラス管内を流れる水の中心に染料を注入し、無次元比

Re = \rho vL/\mu

がしきい値を超えると滑らかな染料の筋が不規則な運動に崩れるのを観察しました。円管では約2300ですが擾乱に依存します。レイノルズ数は層流と乱流を分ける中心的なパラメータとなりました。

粘度とレイノルズ数

器具

手順

シミュレーション

実験の歴史

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