振動と波動

単振動の基礎

位相円を通じて単振動を調べます。 $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ 、 $v_{\max} = A\omega$ 、 $a(t) = -\omega^2 x(t)$ ——加速度は常に変位と逆向きで比例する――を確かめます。

高等学校

器具

等速回転点とその変位射影を持つ3D位相円
振幅 A と周波数 f のスライダー
初期位相 φ のスライダー
x、v、a の時間グラフと一時停止ボタン

手順

位相円と変位グラフを読む
シミュレーションを実行します。赤い点が円上を等速回転し、その軸への射影が変位 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ です。点が円の頂上にあるとき一時停止します。射影は端にあり、 $v = 0$ 、 $a$ は符号反対で最大です。
A と f を変える
f を固定して振幅 A を上げます。x(t) 曲線は高くなり周期は変わりません。f を上げると波が縮み、 $v_{\max} = A\omega$ は両方に比例して増えます。 $\omega = 2\pi f$ として $v_{\max}$ の表示を $A\omega$ と照合します。
初期位相をずらす
φ スライダーを動かします。x(t) の波形全体が時間方向にずれますが周期と振幅は変わりません。φ は時刻の起点を決めるだけです。φ = π/2 を試します。t = 0 で物体は最大速度で平衡点を通過します。実行前に v(0) の符号を予測しましょう。

シミュレーション

実験の歴史

単振動の概念はホイヘンスの振り子力学（『振り子時計』1673）とブルック・テイラーの弦振動解析（1713、基本モードが正弦関数で振動すると証明）から生まれました。ダランベールの波動方程式（1747）とフーリエの「あらゆる周期運動は正弦波の和に分解できる」（1822）が現代的な「モード」像の基盤です。等速円運動を直径に射影して単振動を作る幾何学的手法は、フレネルが光振動を合成した「参照円」（1817）と結びつきます。今日、安定平衡近傍のあらゆる系は一次近似で単振動として扱われます。

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実験の歴史

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