問題 3

宇宙船が地球に対して一定速度

v

で運動する。船内の同じ位置で起こる2事象の固有時間は

\Delta\tau=2.0

年である。光速を

c

、

v=0.8c

として、地球系での時間間隔とその間に船が進む距離を求めよ。各段階を適切な保存則または運動方程式で記述し、一定とされた量はその段階で一定とする。(a) 各段階を支配する物理関係を立てよ。(b) 与えられた初期条件と拘束条件から問われた量を求めよ。(c) 結果の符号、次元、および物理的な極限を確認せよ。この理想化のもとで必要な保存量と力の向きを明記し、各段階の境界条件を用いて未知量を順に決定する。解答は与えられた量で表し、指定された全ての項目について物理的に許される値を示せ。特に、採用した近似の適用範囲を確認し、得られた値が初期状態および最終状態の条件と矛盾しないことを確かめよ。式中の記号は本文で定義した量を表す。解答では各段階の関係を順に用いよ。計算結果は、設定したモデルの範囲内で解釈すること。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\Delta t=\gamma\Delta\tau=\frac53(2.0\,\text{y})=\frac{10}{3}\,\text{y}\approx3.33\,\text{y}

problems.proof.analysis

船内時計が固有時間を測る。地球系の時間間隔は $\Delta t=\gamma\Delta\tau$ だけ長くなる。これは選んだ物理モデルと与えられた初期条件から導かれる。計算全体で符号規約を一貫させ、次元を確認すれば代数的な誤りを見つけられる。