国際物理オリンピック · 2013年

問題

問題 1断熱容器内で、 $70^\circ\mathrm C$ の水 $m_h=0.30\,\mathrm{kg}$ と $10^\circ\mathrm C$ の水 $m_c=0.20\,\mathrm{kg}$ を混ぜる。水の比熱は $c=4200\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}$ 、容器の熱容量と熱損失を無視する。混合後、水全体は一様な最終温度に達し、蒸発や相変化は起こらない。熱は二つの水だけの間で移動し、断熱容器はエネルギーを受け取らない。考える水が熱を受け取る場合を正、放出する場合を負と定義する。混合後は十分にかき混ぜられ、二つの水は同じ温度に達する。比熱は温度範囲内で一定とし、容器の熱容量はゼロとみなす。熱量の符号は各部分ごとに定義した規約に従う。外部との熱交換がないため、系全体のエネルギーは保存される。混合前後の水の質量は変わらず、温度差はケルビンでも摂氏でも同じ数値である。 (a) 平衡温度 $T_f$ を求めよ。(b) 温水が授受する熱量を符号付きで求めよ。(c) 冷水が受け取る熱量を求め、エネルギー保存を確認せよ。(d) $T_c,T_f,T_h$ の大小関係を示せ。解答: 1
問題 2質量 $m_1=4.0\,\mathrm{kg}$ と $m_2=6.0\,\mathrm{kg}$ の二物体を、軽く伸びない糸で質量なし・摩擦なしの滑車にかけ、静止から放す。 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ とする。糸は常に張り、滑車の溝で滑らない。滑車は自由に回転するため、両側の張力は等しい。二物体は鉛直方向だけに動くので、重い物体が下がる距離と速さは軽い物体が上がる距離と速さに等しい。放した後の運動を考える。糸と滑車の質量、空気抵抗、軸の摩擦は無視する。重力加速度と各質量は一定であり、数値の答えには運動方向も添える。変位は放した位置から測り、加速度は運動中一定である。初速はゼロで、力の合力が一定なので運動は等加速度となる。各時刻の速さは二物体で共通である。 (a) 各物体の加速度と糸の張力を求めよ。(b) $3.0\,\mathrm s$ 後の速さを求めよ。(c) その間に各物体が移動した距離を求めよ。解答: 1
問題 3高さ $h=20\,\mathrm m$ の崖の縁から、小球を水平に初速 $u=20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ で投げる。空気抵抗を無視し、 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ とする。投射点を原点とし、水平軸を前向き、鉛直軸を上向きに取る。地面は投射点より鉛直距離 $h$ だけ下にあり、小球は着地まで他の物体に衝突しない質点とみなす。時間は崖を離れた瞬間から測る。発射後は重力だけが小球に働く。水平成分と鉛直成分を分けて扱い、地面に達する時刻を着地時刻とする。到達距離は崖の真下から測り、角度は水平線から測定する。初速度の水平成分は $u$ 、鉛直成分はゼロである。着地直前の速度は二成分をベクトル合成して求める。着地位置と角度の基準を区別して表す。 (a) 地面に達する時間と水平到達距離を求めよ。(b) 衝突直前の速度成分を求めよ。(c) 衝突速度の大きさと水平線より下の角度を求めよ。解答: 1