国際物理オリンピック · 2011年

問題

問題 1起電力 $V=12\,\mathrm V$ の理想電源に、抵抗 $R_1=2.0\,\Omega$ と $R_2=4.0\,\Omega$ を直列接続する。回路を $t=60\,\mathrm s$ 閉じる。内部抵抗を無視し、値は一定とする。抵抗はオーム則に従い、抵抗を無視できる理想導線で直列につなぐ。回路が閉じている間、電源電圧は一定に保たれる。電流は正極から二つの抵抗を通って負極へ流れる向きとし、消費された電気エネルギーは熱に変わる。スイッチを閉じた直後から定常電流が流れるものとする。抵抗値は温度上昇によって変化せず、電源はその間ずっと一定の電圧を保つ。電力とエネルギーは各抵抗でのジュール熱として評価する。電流、端子間電圧、各抵抗の発熱は定常状態で一定である。回路全体で供給された電気エネルギーは各抵抗が受け取る熱量の和に等しい。 (a) 合成抵抗と回路電流を求めよ。(b) 各抵抗の電圧を求め、閉回路の法則を確認せよ。(c) 全消費電力と $60\,\mathrm s$ に電源が供給するエネルギーを求めよ。解答: 1
問題 2断熱容器内で、 $80^\circ\mathrm C$ の水 $m_h=0.20\,\mathrm{kg}$ と $20^\circ\mathrm C$ の水 $m_c=0.30\,\mathrm{kg}$ を混ぜる。水の比熱は $c=4200\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}$ 、容器の熱容量と熱損失を無視する。混合後、水全体は一様な最終温度に達し、蒸発や相変化は起こらない。熱は二つの水だけの間で移動し、断熱容器はエネルギーを受け取らない。考える水が熱を受け取る場合を正、放出する場合を負と定義する。混合後は十分にかき混ぜられ、二つの水は同じ温度に達する。比熱は温度範囲内で一定とし、容器の熱容量はゼロとみなす。熱量の符号は各部分ごとに定義した規約に従う。外部との熱交換がないため、系全体のエネルギーは保存される。混合前後の水の質量は変わらず、温度差はケルビンでも摂氏でも同じ数値である。 (a) 平衡温度 $T_f$ を求めよ。(b) 温水が授受する熱量を符号付きで求めよ。(c) 冷水が受け取る熱量を求め、エネルギー保存を確認せよ。(d) $T_c,T_f,T_h$ の大小関係を示せ。解答: 1
問題 3質量 $m_1=3.0\,\mathrm{kg}$ と $m_2=5.0\,\mathrm{kg}$ の二物体を、軽く伸びない糸で質量なし・摩擦なしの滑車にかけ、静止から放す。 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ とする。糸は常に張り、滑車の溝で滑らない。滑車は自由に回転するため、両側の張力は等しい。二物体は鉛直方向だけに動くので、重い物体が下がる距離と速さは軽い物体が上がる距離と速さに等しい。放した後の運動を考える。糸と滑車の質量、空気抵抗、軸の摩擦は無視する。重力加速度と各質量は一定であり、数値の答えには運動方向も添える。変位は放した位置から測り、加速度は運動中一定である。初速はゼロで、力の合力が一定なので運動は等加速度となる。各時刻の速さは二物体で共通である。 (a) 各物体の加速度と糸の張力を求めよ。(b) $3.0\,\mathrm s$ 後の速さを求めよ。(c) その間に各物体が移動した距離を求めよ。解答: 1