国際物理オリンピック · 2001年

問題

問題 1地面から速さ $u$ 、水平となす角 $\alpha$ で物体を投射する。空気抵抗を無視し、飛距離と最大飛距離の角度を求めよ。重力加速度は $g$ 。物体を質点とし、投射点と同じ高さに戻る。鉛直上向きを正とし、空気抵抗を無視する。(a) 飛行時間と飛距離 $R$ を求めよ。(b) $u$ 一定で飛距離を最大にする角度と最大飛距離を求めよ。(c) 任意の投射角に対する最高点の高さを求めよ。答えは与えられた量を用いた式で示し、数値計算を行う場合は SI 単位を用いる。使用した仮定を明記し、各結果の次元を確認して、符号の誤りや条件の見落としがないか支配法則と照合せよ。ここで用いる記号は問題文で定義した物理量を表し、重力加速度や比例定数は指定された記号のまま扱う。符号は選択した座標系に従い、速度やエネルギーなどの大きさと混同しないこと。小問間で得られた結果を用いる場合は、その依存関係を明示し、最終式が与えられた条件に戻ることを確認せよ。また、既知量と未知量を区別し、導いた量が定義された条件で正となるかを確かめる。極端な値を代入したときにも、予想される物理的挙動と矛盾しない答えを選ぶ。解答: 1
問題 2 $n$ mol の単原子理想気体を圧力一定で $T_1$ から $T_2$ まで加熱する。気体の仕事、内部エネルギー変化、吸収熱を求めよ。気体定数は $R$ 。過程は等圧で、仕事は $p\,dV$ のみとする。気体がする仕事を $W>0$ 、吸収熱を $Q>0$ と定める。(a) 仕事 $W$ を求めよ。(b) 内部エネルギー変化 $\Delta U$ を求めよ。(c) 熱力学第一法則から吸収熱 $Q$ を求めよ。答えは与えられた量を用いた式で示し、数値計算を行う場合は SI 単位を用いる。使用した仮定を明記し、各結果の次元を確認して、符号の誤りや条件の見落としがないか支配法則と照合せよ。ここで用いる記号は問題文で定義した物理量を表し、重力加速度や比例定数は指定された記号のまま扱う。符号は選択した座標系に従い、速度やエネルギーなどの大きさと混同しないこと。小問間で得られた結果を用いる場合は、その依存関係を明示し、最終式が与えられた条件に戻ることを確認せよ。また、既知量と未知量を区別し、導いた量が定義された条件で正となるかを確かめる。極端な値を代入したときにも、予想される物理的挙動と矛盾しない答えを選ぶ。解答: 1
問題 3両端固定の長さ $L$ の弦を速さ $v$ の波が伝わる。基本波の波長・振動数と第 $n$ 次高調波の振動数を求めよ。一様な弦の長さを $L$ とし、両端を節とする。正整数 $n$ のモードを考える。(a) 波長 $\lambda_n$ と内部の節の数を求めよ。(b) 基本振動数を求めよ。(c) 第 $n$ モードの振動数と高調波の関係を示せ。答えは与えられた量を用いた式で示し、数値計算を行う場合は SI 単位を用いる。使用した仮定を明記し、各結果の次元を確認して、符号の誤りや条件の見落としがないか支配法則と照合せよ。ここで用いる記号は問題文で定義した物理量を表し、重力加速度や比例定数は指定された記号のまま扱う。符号は選択した座標系に従い、速度やエネルギーなどの大きさと混同しないこと。小問間で得られた結果を用いる場合は、その依存関係を明示し、最終式が与えられた条件に戻ることを確認せよ。また、既知量と未知量を区別し、導いた量が定義された条件で正となるかを確かめる。極端な値を代入したときにも、予想される物理的挙動と矛盾しない答えを選ぶ。解答: 1