問題 2

電池を一定の起電力

E

と内部抵抗

r>0

の直列モデルで表し、純抵抗負荷

R>0

に接続する。導線抵抗と温度変化は無視する。回路電流を

I

、電池端子間（負荷両端）の電圧を

U

、負荷電力を

P_R

とする。(a)

I,U

を

E,r,R

で表せ。(b)

P_R

と電源内部での消費電力を求めよ。(c)

P_R

を最大にする

R

、最大電力、およびそのときの効率を求めよ。電池の起電力は単位電荷あたりの仕事を表し、負荷をつないで電流が流れると内部抵抗にも電圧降下が生じる。したがって端子電圧は起電力より小さく、エネルギーは負荷と内部抵抗の双方で熱になる。抵抗値を変えたとき負荷電力がどのように変化するかを調べることで、最大電力条件と効率を定量的に比較できる。物体の運動は各区間または過程ごとに別の法則で記述し、境界での連続条件を用いて結果を接続する。ここで示した正方向と符号の規約は全ての式で共通に保つ。与えられた量以外の数値を仮定せず、答えは定義した記号で表す。最終的な式は長さ、時間、質量、温度、電荷などの単位を照合し、物理的な方向や大小関係も確かめる。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\frac{dP_R}{dR}=E^2\frac{r-R}{(R+r)^3}=0\Longrightarrow R=r

problems.proof.analysis

代入電流式から $P_R=E^2R/(R+r)^2$ を得る。微分の符号は $(R+r)-2R=0$ で正から負へ変わるため、ここが最大となる。