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量子力学

量子谐振子

量子谐振子的能级等间距，为 En=ℏω(n+1/2)E_n=\hbar\omega(n+1/2)，并具有非零零点能。

量子弹簧是可精确求解的模型，用于描述分子、晶格等平衡附近的振动。与静止于势能最低点的经典振子不同，其基态仍有量子涨落。

V(x)=12mω2x2,En=ℏω(n+12),n=0,1,2,...V(x)=\frac12m\omega^2x^2,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right),\quad n=0,1,2,...

定义: 零点能

最低能级为 E0=ℏω/2E_0=\hbar\omega/2，不为零。基态波函数为高斯形，Δx=ℏ/(2mω)\Delta x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}、Δp=mℏω/2\Delta p=\sqrt{m\hbar\omega/2}，二者乘积达到 ℏ/2\hbar/2。

改变量子数 nn 观察 ∣ψn∣2|\psi_n|^2 与等间距能级；零点运动使势阱底仍有非零密度。

激发态

本征函数是厄米多项式乘以高斯函数。第 nn 个态有 nn 个节点，节点两侧均有概率分布。等间距谱使谐振子适合作为近似抛物势的展开基底。

例题: 能级间隔

振子频率 ν=5.0×1013\nu=5.0\times10^{13} Hz，求相邻能级间距 En+1−EnE_{n+1}-E_n。

解答

ΔE=ℏω=hν=6.626×10−34×5.0×1013=3.31×10−20\Delta E=\hbar\omega=h\nu=6.626\times10^{-34}\times5.0\times10^{13}=3.31\times10^{-20} J =0.207=0.207 eV。

升降算符 aa 和 a†a^\dagger 无需直接求解微分方程即可构造能谱。它们满足 [a,a†]=1[a,a^\dagger]=1，且 H=ℏω(a†a+1/2)H=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)。基态被 aa 消去，因此能量仍为 ℏω/2\hbar\omega/2；反复作用 a†a^\dagger 可得到激发态。基态概率密度为高斯形，高阶态具有节点。该模型近似势能极小值附近的小振动，也是晶体声子的基础。

快速检测

量子谐振子的基态能量是多少？

相邻能级间距如何依赖 nn？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics