Physic Labs

量子力学

自旋与泡利不相容原理

自旋是粒子固有的量子角动量；泡利原理把费米子的反对称性与不能占据同一量子态联系起来。

量子粒子除位置和运动外还有自旋这一内禀自由度。沿某一轴测量电子自旋只得到两个结果，但测量前的状态可以是叠加态。

S2=s(s+1)ℏ2,Sz∣s,m⟩=mℏ∣s,m⟩S^2=s(s+1)\hbar^2,\qquad S_z|s,m\rangle=m\hbar|s,m\rangle

定义: 自旋1/2与自旋态

电子的 s=1/2s=1/2。在 SzS_z 本征基中，归一化态写作 ∣ψ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\psi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle，满足 ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1。两种测量结果的概率分别为 ∣α∣2|\alpha|^2 和 ∣β∣2|\beta|^2。

旋转布洛赫球上的态矢量，再观察非均匀磁场如何按玻恩概率把束流分成两束。

布洛赫球：用方向表示态

忽略整体相位后，每个纯自旋1/2态对应单位球面上的一点；置于磁场中时，该方向以拉莫尔频率进动。

P(+n)=1+r⋅n2,P(−n)=1−P(+n)P(+\mathbf n)=\frac{1+\mathbf r\cdot\mathbf n}{2},\qquad P(-\mathbf n)=1-P(+\mathbf n)

自旋测量与统计

理想施特恩–盖拉赫分析器利用磁场梯度，使磁矩所受力取决于分析轴上的自旋分量。单个粒子进入一条路径；大量粒子的束流按概率分布。分析轴垂直于制备轴时，两种概率相等。

例题: 例：沿倾斜轴测量

制备 ∣+z⟩|+z\rangle，再沿与 zz 轴夹角 60∘60^\circ 的方向测量，则 P(+)=3/4P(+)=3/4、P(−)=1/4P(-)=1/4。这是重复实验的频率期望，不是单个粒子的分数结果。

解答

由玻恩规则，P(+)=∣⟨+n∣+z⟩∣2=(1+cos⁡θ)/2=3/4P(+)=|\langle +\mathbf n|+z\rangle|^2=(1+\cos\theta)/2=3/4。

一般自旋态写作 ∣χ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\chi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle，其中 ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1。沿 zz 测量得到 ±ℏ/2\pm\hbar/2 的概率分别为 ∣α∣2,∣β∣2|\alpha|^2,|\beta|^2。相对相位不影响该测量，却决定沿其他轴测量时的干涉。多电子体系中，泡利不相容原理作用于包括位置和自旋在内的完整单粒子态；反对称化解释原子壳层结构。

快速检测

自旋 1/2 的 S_z 测量有哪两个结果？

测量轴与极化方向一致时，正结果的概率是多少？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics