相对论

双生子佯谬

往返旅行后，旅行者可能比留在地球的双胞胎年轻，因为两人世界线不同，旅行者折返时改变参考系。

设旅行者以速度 v 行进距离 D，瞬时掉头后以同速返回。地球系总时间为 2D/v；旅行者在两段路程中积累的固有时间更少。

\Delta t_{\mathrm{Terre}}=\frac{2D}{v},\qquad \Delta\tau_{\mathrm{voyageur}}=\frac{2D}{v}\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}

定义: 定义

固有时间沿每个人的世界线累积。留在地球的双胞胎近似惯性运动；旅行者折返时加速并切换惯性系，因此两者并不对称。

调节参数观察实时结果，并拖动画布旋转视角。

物理意义

加速度可以很短暂。关键不是简单判断“谁在运动”，而是两条世界线的固有时间积分不同。瞬时掉头的理想模型忽略推进与引力细节。

例题: 定量示例

旅行者以 0.8c 飞到距地球 4 光年的地点后立即返回。地球与旅行者各经历多久？

解答

地球经历 10 年。γ=5/3，因此忽略掉头时间时旅行者经历 6 年。

例题: 往返旅程的固有时

宇航员以 $0.8c$ 前往距地球 $4$ 光年的恒星，迅速掉头返回。忽略加速时间，比较地球和宇航员经历的时间。

解答

地球经历 $2(4)/0.8=10$ 年。由于 $γ=5/3$ ，旅行者的总固有时为 $10/γ=6$ 年。连接相同会合点的世界线具有不同的固有时间长度，因此年龄不同。

从两次会合间积累的时间，是世界线在洛伦兹度规下的长度；在地球系中 $\tau=\int\sqrt{1-v^2/c^2}\,dt$ 。在相同的重逢事件之间，留守者近似沿一条惯性路径运动，而旅行者经历两段速度并在掉头时换系。掉头加速可以很短，关键是比较两条完整世界线上的固有时积分。

忽略加速时间只是为了简化计算；年龄差取决于完整世界线，而非瞬时掉头本身。

在往返模型中，谁在掉头时改变惯性系？

哪一量在洛伦兹变换下不变？