量子力学

角动量与自旋

量子角动量代数决定测量结果；施特恩–盖拉赫实验揭示量子化与角动量耦合。

轨道角动量 $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ 与内禀自旋 $\mathbf S$ 遵循相同对易代数。总角动量 $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ 决定守恒量和原子能级结构。

[J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\quad J^2= j(j+1)\hbar^2,\quad J_z=m\hbar

定义: 量子化取值

量子数 $j=0,1/2,1,\ldots$ 时， $J_z$ 取值 $m\hbar$ ，其中 $m=-j,-j+1,\ldots,j$ 。由于 $[J_x,J_y]=i\hbar J_z$ ，不同分量一般不能同时确定。

设置自旋方向与分析轴，考察两束输出概率及束流分离。

总角动量与耦合

耦合 $j_1,j_2$ 时，总角动量可取 $j=|j_1-j_2|,\ldots,j_1+j_2$ 。对 $s=1/2$ 的电子， $l>0$ 时自旋–轨道相互作用使 $j=l\pm1/2$ 的能级分裂。

例题: 例：自旋1/2束流斑点

银原子束通过沿 z 有梯度的磁铁后形成对应 $m_s=+1/2,-1/2$ 的两个斑点。完全 z 极化时仅出现一支，x 极化时两支概率相等。

解答

因为 $|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt2$ ，测量 $S_z$ 的两个结果概率均为 $1/2$ 。

角动量算符满足 $[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k$ ，因此所有分量不能同时确定。通常同时指定 $L^2$ 和 $L_z$ ，其本征值为 $\hbar^2l(l+1)$ 与 $\hbar m$ ，其中 $m=-l,\ldots,l$ 。自旋遵循相同代数，却不是轨道运动；对自旋 $1/2$ ， $S^2=3\hbar^2/4$ 且 $S_z=\pm\hbar/2$ 。两个角动量耦合时，允许的 $j$ 从 $|j_1-j_2|$ 到 $j_1+j_2$ ，按整数步进，对原子谱和自旋轨道耦合很有用。

快速检测

自旋 j 的 J_z 有多少个 m 取值？

j=1/2 时 J_z 的 m 取值是什么？

参考文献

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics