Physic Labs

量子力学

狄拉克形式：量子态与二能级系统

狄拉克括号记法简洁表示态与测量；二能级系统清楚展示相干演化和拉比振荡。

狄拉克记法中 ket ∣ψ⟩|\psi\rangle 是态矢量，bra ⟨ψ∣\langle\psi| 是其对偶，内积 ⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi|\psi\rangle 是概率振幅。它既适用于波函数也适用于有限维向量。

iℏddt∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩,P(a)=∣⟨a∣ψ⟩∣2i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle,\qquad P(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2

定义: 二能级系统

二能级系统的基为 ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle。在共振哈密顿量 H=ℏΩσx/2H=\hbar\Omega\sigma_x/2 下，初态 ∣0⟩|0\rangle 演化为 cos⁡(Ωt/2)∣0⟩−isin⁡(Ωt/2)∣1⟩\cos(\Omega t/2)|0\rangle-i\sin(\Omega t/2)|1\rangle，测得 ∣1⟩|1\rangle 的概率为 sin⁡2(Ωt/2)\sin^2(\Omega t/2)。

调节耦合与失谐，观察跃迁概率随时间的变化。

矩阵表示

在 ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle 基底中，ket 是二分量列向量，算符是矩阵。常见驱动哈密顿量为 H=ℏ(Δσz+Ωσx)/2H=\hbar(\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x)/2。失谐 Δ\Delta 使旋转轴倾斜，广义拉比频率为 ΩR=Ω2+Δ2\Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}。

例题: 例：跃迁概率

共振时，t=π/(2Ω)t=\pi/(2\Omega) 有 1/21/2 的概率处于 ∣1⟩|1\rangle；持续 t=π/Ωt=\pi/\Omega 的脉冲可将其完全转移到 ∣1⟩|1\rangle。

解答

将 Ωt/2=π/4\Omega t/2=\pi/4 代入 P1=sin⁡2(Ωt/2)P_1=\sin^2(\Omega t/2)，得 P1=1/2P_1=1/2。

狄拉克形式中，态是希尔伯特空间的向量，可观测量是厄米算符。归一化态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 的期望值为 ⟨A⟩=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle；在 AA 的本征基展开可得到各结果概率。张量积描述复合系统，密度矩阵则处理混合态或忽略环境后的子系统。狄拉克符号简洁，但算符通常不对易，因此次序仍很重要。

快速检测

共振时，在 H=ℏΩσx/2 下跃迁概率如何变化？

共振时，完全转移到另一能级所需的脉冲时间是多少？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics