量子力学

多体系统与全同粒子

交换对称性是多粒子态的一部分：玻色子的波函数对称，费米子反对称，由此得到泡利原理。

全同粒子没有有物理意义的个体标签。交换两个粒子，多体态至多改变一个相位；在三维中常见的相位为玻色子的 $+1$ 和费米子的 $-1$ 。

\Psi_{B}(1,2)=+\Psi_{B}(2,1),\qquad \Psi_{F}(1,2)=-\Psi_{F}(2,1)

定义: 双费米子态

对正交归一的自旋轨道 $a,b$ ，归一化费米子态为斯莱特行列式 $|a,b\rangle_F=(|a(1)b(2)\rangle-|b(1)a(2)\rangle)/\sqrt2$ 。若 $a=b$ 则态为零，两个费米子不能占据同一自旋轨道；自旋相反的两个电子可共享空间轨道。

比较两个波包靠近时玻色子与费米子的概率密度，观察费米子反对称态的节点。

玻色子、费米子与多体系统

交换对称性作用于坐标与自旋组成的总态。双电子总态必须反对称：反对称自旋单态配对称空间态，对称三重态配反对称空间态。多体理论常用占据数及产生、湮灭算符。

例题: 例：氦原子基态

独立粒子近似下，氦的两个电子共享空间 $1s$ 轨道。为使总态反对称，自旋处于单态 $S=0$ ： $(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt2$ 。

解答

空间部分交换对称，因此自旋部分必须反对称，才能使乘积整体变号。

相互作用粒子的哈密顿量通常由单粒子动能和成对势 $V(\mathbf r_i-\mathbf r_j)$ 组成。基态不一定能分解为独立态乘积：关联会产生不能仅由单粒子密度决定的可观测量。在平均场近似中，每个粒子在其他粒子产生的有效势中运动，剩余关联则需其他方法处理。对费米子，反对称性即使在低温下也产生简并压。这些思想连接量子力学与凝聚态、超冷原子和核物理。

快速检测

两个全同费米子的波函数交换后如何变化？

两个电子何时可以占据同一空间轨道？

参考文献

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics