凝聚态物理学

自由电子气与费米能级

自由电子模型将导电电子视为大体积中的费米子气体，服从费米–狄拉克统计。T=0 时填满态后可确定费米面、费米能和简并压。

最简单模型忽略离子晶格势、电子相互作用和散射，将导电电子视为盒中自由粒子。尽管简化，它可估算费米尺度并解释金属电子热容较小等现象。

E_F = (ℏ²/2m)(3π²n)^(2/3), k_F=(3π²n)^(1/3)

定义: 费米能与费米波矢

n 为自由电子密度，m 为电子质量（适当模型中可用有效质量）。kF 是各向同性三维 k 空间中球形费米面的半径；EF 是 T=0 时该面的能量。

调节温度和密度，探索量子占据及相关物理量。

态计数

体积 V 中计入两种自旋时，半径 kF 球内态数为 N=VkF³/(3π²)。令 n=N/V 即得上述公式。这里已计入自旋二重简并；漏掉它会使密度计算显著出错。

g(E) ∝ √E (gaz libre 3D)

三维抛物线色散下，态密度随能量平方根增长。费米能以下深处的态已填满，升温时只有 EF 附近约 kBT 的薄壳占据发生变化。

例题: 例题

若密度 n 增至8倍，EF 如何变化？

解答

因 EF ∝ n^(2/3)，故增至 8^(2/3)=4 倍。

费米球来自波矢态填充至 kF，并计入两种自旋。T=0 时量子压强并非热压强：泡利不相容原理使压缩导致 kF 和总能量升高。三维自由电子气的能量密度为 3nEF/5，压强为 2nEF/5。这种简并压强源于态填充；若库仑相互作用或晶格效应显著，就需更完整的模型。

真实金属中的费米面通常并非球形：周期势会扭曲能带，并形成多个电子或空穴口袋。磁场下的德哈斯–范阿尔芬振荡可揭示费米面的极值截面。因此自由电子气适合作为直观起点，而能带结构和有效质量才决定输运性质的定量结果。

电子密度增至8倍时，费米能增至几倍？

相应分布的分母使用哪个符号？