振动与波

阻尼振动、受迫振动与共振

阻力使振幅衰减；周期外力产生受迫振动，当驱动频率接近固有频率时响应显著增大。

实际系统中的摩擦和阻力会耗散机械能，使振幅随时间减小。若系统持续受到周期外力作用，它将以外力频率作受迫振动。

m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t),\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

定义: 固有频率与共振

$\omega_0=\sqrt{k/m}$ 是无阻尼系统的固有角频率。稳态受迫振幅为 $A(\omega)=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}$ 。阻尼较弱时峰值接近 $\omega_0$ ；阻尼不可忽略时，共振频率低于 $\omega_0$ 。

改变驱动频率和阻尼，观察稳态振幅在固有频率附近的峰值。

阻尼与维持振动

自由衰减振动向环境耗散能量。稳态受迫振动中，外部驱动每周期补充耗散的能量；振幅取决于驱动频率、阻尼和驱动力大小。共振并不意味着能量凭空产生。

例题: 估算共振频率

系统参数为 $m=0.50$ kg、 $k=200$ N/m，阻尼较弱。估算其固有频率（Hz）以选择驱动频率。

解答

$\omega_0=\sqrt{k/m}=20$ rad/s，因此 $f_0=\omega_0/(2\pi)\approx3.18$ Hz。阻尼较弱时，响应峰值接近此值。

稳态时，振子主要以外力频率振动，而非原来的固有频率。振幅取决于驱动频率和阻尼；阻尼使共振峰变低、变宽。共振可用于放大振动，但桥梁和机器必须避免过度振动。

应用模型时，应说明哪些量保持不变，并选择合适的参考系。数值旁标明单位有助于避免混淆不同物理量，或混淆测量值与预测值。计算后检查量纲、符号和极限情况，确认结果符合所用假设，例如小振幅、均匀介质或忽略阻力。若实际条件与假设不同，应解释偏差，而非机械套用公式。

可将特殊情况代入关系式作物理检查，例如平衡位置、最大位移、完整一个周期或不存在相对运动。这些情况常使某个量为零或达到极值，有助于发现符号错误以及周期与频率的混淆。比较实验时，每次只改变一个条件，才能明确结果变化的原因。

稳态受迫振动中，系统以哪个频率振动？

阻尼较弱时，驱动频率接近共振会发生什么？