振动与波

简谐运动概述

简谐运动的位移随时间作正弦变化；速度和加速度由相位、角频率与振幅决定。

振动是物体围绕平衡位置重复运动。当回复力与位移成正比且指向平衡位置时，物体作简谐运动，位移—时间图像为正弦曲线。

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\qquad a(t)=-\omega^2x(t)

定义: 基本物理量

$x$ 为位移（m）， $A$ 为振幅（m）， $T$ 为周期（s）， $f=1/T$ 为频率（Hz）， $\omega=2\pi f$ 为角频率（rad/s）， $\varphi$ 为初相（rad）。振幅非负；相位决定任一时刻的振动状态。

调节振幅、频率和初相，对照相位圆上的位置与 x(t)、v(t)、a(t) 图像。

速度与加速度

对时间求导得 $v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$ 、 $a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)$ 。因此 $v_{\max}=A\omega$ 、 $a_{\max}=A\omega^2$ ；加速度的符号始终与位移相反。

v_{\max}=A\omega,\qquad a=-\omega^2x

例题: 求振动状态

物体振幅 $A=0.08$ m、周期 $T=0.40$ s、初相 $\varphi=0$ 。求角频率 $\omega$ ，并计算 $t=0.10$ s 时的 $x$ 与 $v$ 。

解答

$\omega=2\pi/T=5\pi$ rad/s。此时相位为 $\pi/2$ ，故 $x=A\cos(\pi/2)=0$ ， $v=-A\omega\sin(\pi/2)=-0.4\pi\approx-1.26$ m/s。

相位确定瞬时状态：相位相同时，位移和速度方向相同。一个周期相位增加 $2\pi$ ，经过 $\Delta t$ 相位变化为 $\omega\Delta t$ 。取正向端点为 $t=0$ 时 $\varphi=0$ ；经过平衡位置时要根据运动方向选择初相。

应用模型时，应说明哪些量保持不变，并选择合适的参考系。数值旁标明单位有助于避免混淆不同物理量，或混淆测量值与预测值。计算后检查量纲、符号和极限情况，确认结果符合所用假设，例如小振幅、均匀介质或忽略阻力。若实际条件与假设不同，应解释偏差，而非机械套用公式。

可将特殊情况代入关系式作物理检查，例如平衡位置、最大位移、完整一个周期或不存在相对运动。这些情况常使某个量为零或达到极值，有助于发现符号错误以及周期与频率的混淆。比较实验时，每次只改变一个条件，才能明确结果变化的原因。

简谐运动中，加速度在任意时刻与位移有何关系？

周期为 $T$ 的振动，其角频率是多少？